Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Γ' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Φυσική Προσανατολισμού | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 23245 | Ύλη: | 1.3 Απλή αρμονική ταλάντωση 2.2 Μηχανικά κύματα 2.5 Στάσιμα Κύματα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Γ' Λυκείου |
| Μάθημα: | Φυσική Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 23245 |
| Ύλη: | 1.3 Απλή αρμονική ταλάντωση 2.2 Μηχανικά κύματα 2.5 Στάσιμα Κύματα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Οκτ-2022 | |
ΘΕΜΑ 4
Για τη μελέτη των στάσιμων κυμάτων κατά μήκος τεντωμένης χορδής δημιουργήθηκε στο εργαστήριο η πειραματική διάταξη του παρακάτω σχήματος. Αποτελείται από έναν ταλαντωτή, μία τροχαλία, μία αβαρή ελαστική χορδήκαι διάφορα σταθμά. Ο ταλαντωτής συνδέεται με μία γεννήτρια συχνοτήτων. Όταν η χορδή ηρεμεί έχει μήκος \(L=1,6\ m\). Η γεννήτρια τίθεται σε λειτουργία και ρυθμίζουμε την συχνότητά της ώστε να σχηματιστεί το στάσιμο κύμα του παρακάτω σχήματος.
Τα σημεία που συνδέεται η χορδή με τον ταλαντωτή και την τροχαλία, μετά τον σχηματισμό του στάσιμου κύματος θεωρούνται ακίνητα, δηλαδή συμπεριφέρονται όπως το σημείο \(Ζ\). Η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας των σημείων που βρίσκονται στις κοιλίες π.χ. το \(Ψ\), είναι \(4\ cm\). Το ελάχιστο χρονικό διάστημα που χρειάζεται το σημείο \(Χ\) για να κινηθεί από την μία ακραία θέση ταλάντωσης στην άλλη είναι \(Δt=0,1\ s\).
4.1. Να βρεθεί το μήκος κύματος των αρμονικών κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα στην χορδή καθώς και η ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος στην χορδή.
Μονάδες 6
4. 2. Να υπολογίσετε πόσο πρέπει να μεταβληθεί η συχνότητα της γεννήτριας ώστε να σχηματιστεί στην χορδή ένα ακόμη σημείο δεσμού.
Μονάδες 6
4. 3. Για την αρχική συχνότητα του ταλαντωτή να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος του παραπάνω σχήματος, καθώς και η εξίσωση που δίνει την επιτάχυνση ταλάντωσης των μορίων της χορδής σε συνάρτηση με τον χρόνο. Θεωρούμε ως \(t=0\) τη στιγμή που όλα τα μόρια της χορδής διέρχονται από την θέση ισορροπίας τους και η ταχύτητα του σημείου στην θέση \(Ψ\) είναι \(υ>0\). Ορίζουμε την θέση του σημείου \(Ψ\) ως την αρχή του οριζόντιου άξονα με \(x=0\). Να θεωρήσετε ότι \(π^{2}=10\).
Μονάδες 6
4. 4. Για την αρχική συχνότητα του ταλαντωτή να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης των μορίων της χορδής του παραπάνω σχήματος τα οποία βρίσκονται στις θέσεις των κοιλιών, όταν βρεθούν σε απομάκρυνση \(y=\sqrt{7}\ cm\) από την θέση ισορροπίας.
Μονάδες 7
Απάντηση Θέματος:
ΘΕΜΑ 4
4.1. Όπως παρατηρούμε από το σχήμα, το μήκος της χορδής αντιστοιχεί σε δύο μήκη κύματος, οπότε
$$L=2λ$$ $$\Leftrightarrow λ=\dfrac{L}{2}=\dfrac{1,6}{2}\ m=0,8\ m$$
Το ελάχιστο χρονικό διάστημα που χρειάζεται το σημείο \(Χ\) για να μεταβεί από την μία ακραία θέση ταλάντωσης στην άλλη είναι μισή περίοδος, οπότε
$$Δt=\dfrac{T}{2}$$ $$\Leftrightarrow T=2\cdot Δt=2\cdot 0,1\ s=0,2\ s$$
Με χρήση της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής βρίσκουμε ότι η ταχύτητα διάδοσης των αρμονικών κυμάτων στην χορδή είναι:
$$υ=\dfrac{λ}{Τ}=\dfrac{0,8}{0,2}\ \dfrac{m}{s}=4\ \dfrac{m}{s}$$
Μονάδες 6
4.2. Η συχνότητα της γεννήτριας που δημιουργεί το στάσιμο κύμα του σχήματος (συνολικά 5 δεσμοί με τα άκρα της χορδής) είναι
$$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,2}\ Hz=5\ Hz$$
Όταν μεταβάλουμε την συχνότητα της γεννήτριας και σχηματιστεί ένας ακόμη δεσμός (συνολικά 6 δεσμοί με τα άκρα της χορδής), τότε το μήκος της χορδής θα είναι 2,5 μήκη κύματος, δηλαδή
$$L=2,5λ'$$ $$\Leftrightarrow λ'=\dfrac{L}{2,5}=\dfrac{1,6}{2,5}\ m=0,64\ m$$
Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος δεν αλλάζει, οπότε η νέα συχνότητα της γεννήτριας θα γίνει
$$f'=\dfrac{υ}{λ'}=\dfrac{4}{0,64}\ Hz=6,25\ Hz$$
Συνεπώς, η συχνότητα πρέπει να αυξηθεί κατά
$$Δf=f'-f=6,25\ Hz-5\ Hz=1,25\ Hz$$
Μονάδες 6
4.3. Το πλάτος ταλάντωσης των σημείων που βρίσκονται στις κοιλίες του στάσιμου κύματος είναι διπλάσιο από το πλάτος των αρμονικών κυμάτων. Επομένως,τα αρμονικά κύματα έχουν πλάτος
$$|Α'|=2Α$$ $$\Leftrightarrow Α=\dfrac{|Α'|}{2}=\dfrac{4\ cm}{2}=2\ cm$$
Η εξίσωση του στάσιμου κύματος στην χορδή (στην θέση \(Ψ\) με \(x=0\) υπάρχει κοιλία) στο διάστημα \(-0,6\ m≤x≤+1\ m\) είναι
$$\begin{align} y&=2Aσυν(\dfrac{2πx}{λ})ημ(\dfrac{2πt}{T})\\ &=0,04συν(\dfrac{2πx}{0,8})ημ(\dfrac{2πt}{0,2})\\ &=0,04συν(2,5πx)ημ(10πt) \ \ \ \ \text{(S.I.)} \end{align}$$
Η εξίσωση επιτάχυνσης ταλάντωσης για τα μόρια της χορδής είναι
$$\begin{align} α&=-ω^{2}y\\ &=-(\dfrac{2π}{Τ})^{2}y \\ &=-\dfrac{4π^{2}}{0,2^{2}}0,04συν(2,5πx)ημ(10πt) \\ &=-40συν(2,5πx)ημ(10πt)\ \ \ \ \text{(S.I.)} \end{align}$$
Μονάδες 6
4.4. Τα σημεία που βρίσκονται στις κοιλίες εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση, οπότε για την κίνησή τους εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.
$$K+U=E$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mυ_{τ}^{2}+\dfrac{1}{2}mω^{2}y^{2}=\dfrac{1}{2}mω^{2}(2Α)^{2}$$ $$\begin{align} \Leftrightarrow υ_{τ} &=ω\sqrt{4Α^{2}-y^{2}}\\ &=\dfrac{2π}{0,2}\sqrt{16-7}\cdot 10^{-2}\ \dfrac{m}{s}\\ &=0,3π\ \dfrac{m}{s}\end{align}$$
Μονάδες 7
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).