Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Το σύνολο των τετμημένων των σημείων της \(C_f\) αποτελεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Από τη γραφική παράσταση του σχήματος παρατηρούμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) είναι το διάστημα \([-5,3)\). Αντίστοιχα το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της \(C_f\), δηλαδή το κλειστό διάστημα \([0,10]\).

β) Για \(x \in [-5,0]\), η γραφική παράσταση της fαποτελεί τμήμα που βρίσκεται πάνω στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο \(Α(-5,10)\). Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση της μορφής \(y=αx\) και επειδή διέρχεται από το σημείο \(Α(-5,10)\) θα ισχύει \(10= α(-5)\), οπότε \(α=-2\).

Για \(x \in (0,3)\), η γραφική παράσταση της \(f\) αποτελεί τμήμα που βρίσκεται πάνω στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον άξονα \(x’x\) γωνία \(60^0\). Η κλίση της ευθείας αυτής είναι ίση με \(εφ60^0= \sqrt{3}\), οπότε η εξίσωση της είναι η $y= \(\sqrt{3}x\).

Άρα: \(f(x) = \begin{cases} -2x\text{,}\ \ \ \text{όταν}\ \ x \in [-5,0] \\ \sqrt{3}x \text{,}\ \ \ \text{όταν}\ \ x \in (0,3) \end{cases}\)

γ) Η τετμημένη του σημείου \(Γ\) είναι \(2\). Για \(x=2\) στον τύπο της συνάρτησης \(y=\sqrt{3}x\) έχουμε, \(y= \sqrt{3} \cdot 2 = 2 \sqrt{3}\). Άρα \(Γ(2, 2\sqrt{3})\).