Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	26604	Ύλη:	1.2 Συναρτήσεις

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	26604
Ύλη:	1.2 Συναρτήσεις
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δυο εταιρείες $Ε 1$ και $Ε 2$ δραστηριοποιούνται στο χώρο της γεώτρησης νερού. Η πολιτική των χρεώσεων προς τους πελάτες τους είναι διαφορετική. Η εταιρεία $Ε 1$ χρεώνει $1500$ ευρώ για την εκπόνηση της αρχικής μελέτης και $200$ ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα $15$ πρώτα μέτρα. Αν δεν βρεθεί νερό μέχρι τα $15$ μέτρα, τότε αλλάζει τη χρέωση από $200$ σε $250$ ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μετά τα $15$ πρώτα. Η $Ε 2$ χρεώνει $300$ ευρώ για κάθε μέτρο βάθους.

α) Αν $f (x)$ είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία $Ε 1$ για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους, να βρείτε:

Τον τύπο της συνάρτησης $f$ .
(Μονάδες 6)
Το ποσό που θα χρεώσει η εταιρεία $Ε 1$ σε πελάτη που χρειάστηκε να φτάσει σε βάθος $12$ μέτρων μέχρι να βρει νερό.
(Μονάδες 2)
Αν κάποιος πελάτης ξόδεψε για τη γεώτρησή του $5050$ ευρώ, σε ποιο βάθος έφτασε;
(Μονάδες 2)

β) Αν $g (x)$ είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία $Ε 2$ για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $g$ .
(Μονάδες 3)

γ) Σε ποιο βάθος σταμάτησαν τη γεώτρησή τους δυο γείτονες που συνεργάστηκαν με διαφορετική εταιρεία ο καθένας τους, βρήκαν νερό στο ίδιο βάθος και πλήρωσαν ακριβώς το ίδιο ποσό;
(Μονάδες 6)

δ) Να βρείτε για ποιες τιμές της μεταβλητής $x$ (μέτρα βάθους) συμφέρει η επιλογή της εταιρείας $Ε 1$ ;
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η εταιρεία $Ε 1$ κοστολογεί με $200$ ευρώ κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα $15$ πρώτα. Για $x$ μέτρα βάθους το κόστος θα είναι $200 x$ αυξημένο κατά $1500$ ευρώ που είναι το κόστος της εκπόνησης της μελέτης, όταν $0 \leq x \leq 15$ . Αν όμως χρειαστεί να ξεπεράσει τα $15$ μέτρα βάθους τότε θα χρειαστεί να πληρώσει $(x - 15) 250$ για κάθε επιπλέον μέτρο μετά τα $15$ πρώτα και $15 \cdot 200 + 1500 = 4500$ ευρώ που είναι η χρέωση των $15$ πρώτων μέτρων βάθους. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κόστος θα είναι $(x - 15) 250 + 4500$ ευρώ για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους με $x > 15$ . Οπότε:

$f (x) = {\begin{cases} 1500 + 200 x, όταν 0 \leq x \leq 15 \\ (x - 15) 250 + 4500, όταν x > 15 \end{cases}$
Για $12$ μέτρα βάθους γεώτρηση το ποσό που θα δαπανήσει είναι $f (12) = 1500 + 200 \cdot 12 = 3900$ ευρώ.
Μέχρι τα $15$ μέτρα βάθους το ποσό που χρεώνει η εταιρεία είναι $4500$ ευρώ. Οπότε $x > 15$ . Έτσι έχουμε $f (x) = 5050$ ή $(x - 15) 250 + 4500 = 5050$ ή $x = 17, 2$ .

β) $g (x) = 300 x$ με $x > 0$ .

γ) Δίνεται ότι για ίδια μέτρα βάθους πλήρωσαν το ίδιο ποσό. Αναζητούμε τιμή του $x$ ώστε να ισχύει $f (x) = g (x)$ ή $1500 + 200 x = 300 x \Leftrightarrow x = 15$ δεκτή (όταν $0 < x \leq 15$ ) ή $(x - 15) 250 + 4500 = 300 x \Leftrightarrow x = 15$ απορρίπτεται (όταν $x > 15$ ).

Άρα για γεώτρηση βάθους $15$ μέτρων οι δύο εταιρείες χρεώνουν ακριβώς το ίδιο ποσό και δεν υπάρχει άλλη τιμή του $x$ (μέτρα βάθους) για την οποία η χρέωση των δυο εταιρειών, για το ίδιο βάθος, να είναι ίδια.

δ) Για να συμφέρει η επιλογή της εταιρείας $Ε 1$ για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους, θα πρέπει το κόστος $f (x)$ να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος $g (x)$ της εταιρείας $Ε 2$ . Δηλαδή να ισχύει $f (x) < g (x)$ , οπότε:

Για $0 < x \leq 15$ , $1500 + 200 x < 300 x \Leftrightarrow x > 15$ απορρίπτεται.
Για $x > 15$ , $(x - 15) 250 + 4500 < 300 x \Leftrightarrow x > 15$ , δηλαδή συμφέρει η επιλογή της εταιρείας $Ε 1$ όταν η γεώτρηση έχει περισσότερο από $15$ μέτρα βάθους.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).