Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	26736	Ύλη:	2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	26736
Ύλη:	2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 2

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου $f^{'}$ μιας πολυωνυμικής συνάρτησης $f$ τρίτου βαθμού η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα $[- 1, 5]$ .

α) Αν η κορυφή της παραβολής της γραφικής παράστασης της παραγώγου $f^{'}$ είναι το σημείο $Α (2, - 1)$ , με τη βοήθεια του σχήματος να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κοίλη στο $[- 1, 2]$ και κυρτή στο $[2, 5]$ .
(Μονάδες 10)

β) Ποια είναι η κλίση της $f$ στο $x_{0} = 2$ ;
(Μονάδες 06)

γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι $3 f (2) - 1 = 0$ , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο της με τετμημένη $x_{0} = 2$ .
(Μονάδες 09)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[- 1, 2]$ και παραγωγίσιμη στο $(- 1, 2)$ , αφού είναι πολυωνυμική. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{'}$ παρατηρούμε ότι η $f^{'}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(- 1, 2)$ . Άρα, η $f$ είναι κοίλη στο $[- 1, 2]$ .

Όμοια, η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα [ $2, 5]$ και παραγωγίσιμη στο $(2, 5)$ . Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{'}$ παρατηρούμε ότι η $f^{'}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(2, 5)$ . Άρα, η $f$ είναι κυρτή στο $[2, 5]$ .

β) H κλίση της συνάρτησης $f$ στο $x_{0} = 2$ ισούται με $f^{'} (2)$ Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{'}$ παρατηρούμε ότι $f^{'} (2) = - 1$ .

γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο της με τετμημένη $x_{0} = 2$ είναι:

$y - f (2) = f^{'} (2) (x - 2)$

Δίνεται ότι:

$3 f (2) - 1 = 0$ $\Leftrightarrow f (2) = \frac{1}{3}$

Οπότε:

$y - \frac{1}{3} = - 1 (x - 2)$ $\Leftrightarrow y = - x + 2 + \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow y = - x + \frac{7}{3}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).