Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	28476	Ύλη:	1.5 Ιδιότητες των ορίων 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital 3.5 Η συνάρτηση [ορισμένο ολοκλήρωμα της f από α έως χ] 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	28476
Ύλη:	1.5 Ιδιότητες των ορίων 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital 3.5 Η συνάρτηση [ορισμένο ολοκλήρωμα της f από α έως χ] 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : R \to R$ για την οποία ισχύουν:

$lim_{x \to 1} \frac{f (x) (x - 1)}{l n x} = 0$

και:

$f^{'} (x) = \sqrt{x^{2} + 1} για κάθε x \in R$

α)
i.Να υπολογίσετε το:

$lim_{x \to 1} \frac{l n x}{x - 1}$

(Μονάδες 03)

ii.Να αποδείξετε ότι $f (1) = 0$ .
(Μονάδες 03)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f (x) = 0$ έχει μία ακριβώς ρίζα.
(Μονάδες 06)

γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης $f$ για κάθε $x \in R$ .
(Μονάδες 06)

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $Ε$ , που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ , τον άξονα $x^{'} x$ και των ευθειών $x = 0$ και $x = 1$ .
(Μονάδες 07)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)
i.Είναι:

$\underset{x \to 1}{l i m} \frac{l n x}{x - 1} = \underset{x \to 1}{l i m} \frac{(l n x)^{'}}{(x - 1)^{'}}$ $= \underset{x \to 1}{l i m} \frac{\frac{1}{x}}{1}$ $= lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

ii.Είναι:

$f (x) = f (x) \cdot \frac{x - 1}{l n x} \cdot \frac{l n x}{x - 1}$ $= \frac{f (x) (x - 1)}{l n x} \cdot \frac{l n x}{x - 1}$

Άρα:

$lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} (\frac{f (x) (x - 1)}{l n x} \cdot \frac{l n x}{x - 1})$ $= (\underset{x \to 1}{l i m} \frac{f (x) (x - 1)}{l n x}) \cdot (\underset{x \to 1}{l i m} \frac{l n x}{x - 1})$

Επομένως έχουμε:

$lim_{x \to 1} f (x) = 0 \cdot 1 = 0$

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $R$ ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:

$lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$ $\Leftrightarrow f (1) = 0$

2ος τρόπος:
Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $R$ ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:

$lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:

$lim_{x \to 1} f (x) = 0$

Θεωρούμε συνάρτηση $g$ με $g (x) = \frac{f (x) (x - 1)}{l n x}$ , οπότε είναι:

$f (x) = \frac{g (x) l n x}{x - 1}, x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$

Επειδή είναι:

$lim_{x \to 1} g (x) = 0$

και:

$\underset{x \to 1}{l i m} \frac{l n x}{x - 1} = \underset{x \to 1}{l i m} \frac{(l n x)^{'}}{(x - 1)^{'}}$ $= \underset{x \to 1}{l i m} \frac{\frac{1}{x}}{1}$ $= lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

Έχουμε:

$lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} g (x) \cdot lim_{x \to 1} \frac{l n x}{x - 1}$ $= 0 \cdot 1 = 0$

β) Το $1$ είναι ρίζα της εξίσωσης $f (x) = 0$ , διότι $f (1) = 0$ .

Επιπλέον, επειδή $f^{'} (x) = \sqrt{x^{2} + 1} > 0$ για κάθε $x \in R$ , η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$ και ως εκ τούτου είναι «1 – 1». Επομένως η εξίσωση $f (x) = 0$ έχει μία το πολύ ρίζα. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση $f (x) = 0$ έχει μία ακριβώς ρίζα, το $1$ .

γ) Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$ και $f (1) = 0$ . Επομένως, έχουμε:

$x > 1$ $\Leftrightarrow f (x) > f (1)$ $\Leftrightarrow f (x) > 0$

Και:

$x < 1$ $\Leftrightarrow f (x) < f (1)$ $\Leftrightarrow f (x) < 0$

δ) Είναι $f (x) \leq 0, x \in [0, 1]$ . Επομένως:

$Ε = \int_{0}^{1} | f (x) | d x$ $= \int_{0}^{1} - f (x) d x$ $= - \int_{0}^{1} 1 \cdot f (x) d x$ $= - \int_{0}^{1} (x)^{'} \cdot f (x) d x$ $= - {[x f (x)]}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x \cdot f^{'} (x) d x$ $= - {[x f (x)]}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x^{2} + 1} d x$ $= - {[x f (x)]}_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2 x \cdot (x^{2} + 1)^{1 / 2} d x$ $= - {[x f (x)]}_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^{2} + 1)^{1 / 2} \cdot (x^{2} + 1)^{'} d x$ $= - {[x f (x)]}_{0}^{1} + \frac{1}{2} {[\frac{(x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}}}{3 / 2}]}_{0}^{1}$ $= - (1 \cdot 0 - 0 \cdot f (0)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2^{3 / 2} - 1)$ $= \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

Σχόλιο: Εναλλακτικά για τον υπολογισμό του $\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x^{2} + 1} d x$ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο αντικατάστασης, θέτοντας $u = \sqrt{x^{2} + 1}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).