Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Γ' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά (Γενικής Παιδείας) | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 29953 | Ύλη: | Ενότητα 1.3 Πιθανότητες και πράξεις με ενδεχόμενα Ενότητα 1.4 Συνδυαστική και Πιθανότητες |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Γ' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά (Γενικής Παιδείας) |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 29953 |
| Ύλη: | Ενότητα 1.3 Πιθανότητες και πράξεις με ενδεχόμενα Ενότητα 1.4 Συνδυαστική και Πιθανότητες |
| Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαρ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Ο διευθυντής του σχολείου έχει κανονίσει συνάντηση με τα 5-μελή συμβούλια των μαθητικών κοινοτήτων στη βιβλιοθήκη του σχολείου. Στη βιβλιοθήκη υπάρχουν \(5\) καρέκλες η μία δίπλα στην άλλη, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουν οι μαθητές. Για να μη ρωτάει κάθε φορά ποιος από τους μαθητές έχει εκλεγεί πρόεδρος, ζήτησε να κάθεται στην πρώτη από αριστερά καρέκλα ο πρόεδρος και στις υπόλοιπες οι άλλοι μαθητές του 5-μελούς συμβουλίου.
α) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν οι μαθητές του 5-μελούς μαθητικού συμβουλίου στη συνάντηση με το διευθυντή;
(Μονάδες 13)
β) Να βρείτε την πιθανότητα η τοποθέτηση του 5-μελούς μαθητικού συμβουλίου στις πέντε καρέκλες να είναι: «ο πρόεδρος στην πρώτη καρέκλα, τα δύο άλλα μέλη του προεδρείου (γραμματέας – ταμίας) στις δύο επόμενες από αριστερά καρέκλες, και στη συνέχεια στις δύο επόμενες θέσεις τα δύο μέλη του μαθητικού συμβουλίου».
(Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Στη συνάντηση έχει οριστεί η θέση του προέδρου. Τα υπόλοιπα \(4\) μέλη του μαθητικού συμβουλίου μπορούν να καθίσουν στις \(4\) κενές καρέκλες. Ο πρώτος από τους τέσσερις μπορεί να επιλέξει να καθίσει σε οποιαδήποτε από τις \(4\) διαθέσιμες καρέκλες. Ο επόμενος μαθητής μπορεί να καθίσει σε μία από τις υπόλοιπες \(3\) κενές καρέκλες, κ.ο.κ. Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης οι \(4\) μαθητές του μαθητικού συμβουλίου, εκτός του προέδρου, μπορούν να καθίσουν στις \(4\) διαθέσιμες καρέκλες με \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24\) τρόπους. Όλοι οι μαθητές του 5-μελούς μαθητικού συμβουλίου μπορούν να καθίσουνστη συνάντηση με το διευθυντή με \(1 \cdot 2 24 = 24\) διαφορετικούς τρόπους.
β) Οι δύο μαθητές γραμματέας και ταμίας μπορούν να καθίσουν με δύο τρόπους στις δύο θέσεις δίπλα στον πρόεδρο.
| 1η καρέκλα | 2ηκαρέκλα | 3η καρέκλα | 4η καρέκλα | 5η καρέκλα |
|---|---|---|---|---|
| πρόεδρος | γραμματέας | ταμίας | ? | ? |
ή
| 1η καρέκλα | 2ηκαρέκλα | 3η καρέκλα | 4η καρέκλα | 5η καρέκλα |
|---|---|---|---|---|
| πρόεδρος | ταμίας | γραμματέας | ? | ? |
Οι ευνοϊκές εκβάσεις για την τοποθέτηση που περιγράφεται είναι:
- Οι μαθητές γραμματέας και ταμίας να τοποθετηθούν στις καρέκλες \(2\) και \(3\), χωρίς να έχει σημασία ποιος κάθεται σε καθεμία από αυτές τις θέσεις. Όπως περιγράψαμε πριν υπάρχουν δύο τρόποι για να τοποθετηθούν.
- Τα δύο μέλη που απομένουν μπορούν να τοποθετηθούν στις καρέκλες \(4\) και \(5\), χωρίς πάλι να έχει σημασία ποιος από τους δύο κάθεται σε κάθε θέση, οπότε για καθεμιά από τις επιλογές που κάναμε για τη θέση του γραμματέα και του ταμία παραπάνω και πάλι υπάρχουν δύο τρόποι για να τοποθετηθούν.
Συνολικά υπάρχουν \(2 \cdot 2 2 = 4\) ευνοϊκές εκβάσεις, οι ακόλουθες:
| 1η καρέκλα | 2ηκαρέκλα | 3η καρέκλα | 4η καρέκλα | 5η καρέκλα |
|---|---|---|---|---|
| πρόεδρος | γραμματέας | ταμίας | μέλος 1 | μέλος 2 |
ή
| 1η καρέκλα | 2ηκαρέκλα | 3η καρέκλα | 4η καρέκλα | 5η καρέκλα |
|---|---|---|---|---|
| πρόεδρος | γραμματέας | ταμίας | μέλος 2 | μέλος 1 |
ή
| 1η καρέκλα | 2ηκαρέκλα | 3η καρέκλα | 4η καρέκλα | 5η καρέκλα |
|---|---|---|---|---|
| πρόεδρος | ταμίας | γραμματέας | μέλος 1 | μέλος 2 |
ή
| 1η καρέκλα | 2ηκαρέκλα | 3η καρέκλα | 4η καρέκλα | 5η καρέκλα |
|---|---|---|---|---|
| πρόεδρος | ταμίας | γραμματέας | μέλος 2 | μέλος 1 |
Επειδή οι υπόλοιποι μαθητές πλην του προέδρου κάθονται τυχαία στις καρέκλες, θεωρούμε ότι και οι \(24\) τρόποι που βρήκαμε στο ερώτημα (α) είναι εξίσου πιθανοί.
Άρα η πιθανότητα οι μαθητές να τοποθετηθούν στις \(5\) καρέκλες με τον πρόεδρο στην πρώτη από αριστερά καρέκλα, στις δύο επόμενες καρέκλες να ακολουθούν ο γραμματέας και ο ταμίας με τυχαία σειρά και μετά τυχαία στις θέσεις \(4\) και \(5\) τα δύο μέλη είναι ίση με \(\dfrac{4}{24}\) = \(\dfrac{1}{6}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).