Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Γ' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 31643 | Ύλη: | 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Γ' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 31643 |
| Ύλη: | 1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Φεβ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\), \(x∈[1,2]\).
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \([1,2]\).
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(4x^{3}-9x^{2}-2x+9\) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα \((1,2)\).
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η συνάρτηση \(f\) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \([1,2]\), διότι:
- είναι συνεχής στο \([1,2]\) ως πολυωνυμική
- είναι παραγωγίσιμη στο \((1,2)\) με \(f'(x)=4x^{3}-9x^{2}-2x+9\) και
- ισχύει \(f(1)=f(2)=6\).
β) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση \(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\) ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(ξ∈(1,2)\) τέτοιο, ώστε \(f'(ξ)=0\) ή ισοδύναμα \(4ξ^{3}-9ξ^{2}-2ξ+9=0\).
Επομένως, το \(ξ∈(1,2)\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(4x^{3}-9x^{2}-2x+9=0\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).