Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	31643	Ύλη:	1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	31643
Ύλη:	1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 9 x$ , $x \in [1, 2]$ .

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $[1, 2]$ .
(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $4 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 9$ έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα $(1, 2)$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $[1, 2]$ , διότι:

είναι συνεχής στο $[1, 2]$ ως πολυωνυμική
είναι παραγωγίσιμη στο $(1, 2)$ με $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 9$ και
ισχύει $f (1) = f (2) = 6$ .

β) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 9 x$ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ \in (1, 2)$ τέτοιο, ώστε $f^{'} (ξ) = 0$ ή ισοδύναμα $4 ξ^{3} - 9 ξ^{2} - 2 ξ + 9 = 0$ .

Επομένως, το $ξ \in (1, 2)$ είναι ρίζα της εξίσωσης $4 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 9 = 0$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).