Τράπεζα Θεμάτων

ΘΕΜΑ 4
4.1. Η γενική μορφή της εξίσωσης της τάσης αποκοπής $V_o$ σε συνάρτηση με τη συχνότητα της ακτινοβολίας $f$ είναι:

$$V_o=a\cdot f+\beta (1)$$

Από τις τιμές που φαίνονται στο διάγραμμα υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας:

$$\alpha ={\displaystyle \frac{\Delta V_o}{\Delta f}}$$ $$={\displaystyle \frac{({\rm M}\Lambda )}{({\rm K}{\rm M})}}$$ $$={\displaystyle \frac{3,10-1,03}{(1,80-1,30)\cdot {10}^{15}}}\cdot {\displaystyle \frac{V}{Hz}}$$ $$=4,14\cdot {10}^{-15}V/Hz$$

Για $f=1,30\cdot {10}^{15}Hz$ είναι $V_o=1,03V$, άρα από τη σχέση $(1)$ έχουμε:

$$1,03=4,14\cdot {10}^{-15}\cdot 1,30\cdot {10}^{15}+\beta$$ $$\Rightarrow \beta =-4,35V$$

Συνεπώς προκύπτει:

$$V_o=4,14\cdot {10}^{-15}\cdot f-4,35\text{(S.I.)}(2)$$

Από τη φωτοηλεκτρική εξίσωση έχουμε:

$${\rm K}=hf-\phi (3)$$

Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ για την κίνηση ενός φωτοηλεκτρονίου από την κάθοδο στην άνοδο και θέτοντας όπου ${{\rm K}}_{\alpha \nu }=0$ και ${{\rm K}}_{\text{καθ}}={\rm K}=e{V}_o$, έχουμε:

$$|q_e|V_o=hf-\phi$$ $$\Rightarrow V_o={\displaystyle \frac{h}{|q_e|}}\cdot f-{\displaystyle \frac{\phi }{|q_e|}}(4)$$

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις $(2)$ και $(4)$ υπολογίζουμετην τιμή της σταθεράς του Planck:

$${\displaystyle \frac{h}{|q_e|}}=4,14\cdot {10}^{-15}\cdot {\displaystyle \frac{J\cdot s}{C}}$$ $$\Rightarrow h=4,14\cdot {10}^{-15}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}J\cdot s$$ $$\Rightarrow h=6,62\cdot {10}^{-34}J\cdot s$$

Μονάδες 7
4.2. Συγκρίνοντας τις εξισώσεις $(2)$ και $(4)$ υπολογίζουμε το έργο εξαγωγής του μετάλλου της επίστρωσης της επιφάνειας της καθόδου:

$${\displaystyle \frac{\phi }{|q_e|}}=4,35{\displaystyle \frac{J}{C}}$$ $$\Rightarrow \phi =4,35\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}J$$ $$\Rightarrow \phi =6,96\cdot {10}^{-19}J$$

Η συχνότητα κατωφλίου $f_o$ δίνεται από τη σχέση:

$$f_o={\displaystyle \frac{\phi }{h}}$$ $$={\displaystyle \frac{6,96\cdot {10}^{-19}}{6,62\cdot {10}^{-34}}}Hz$$ $$=1,05\cdot {10}^{15}Hz$$

Μονάδες 6

4.3. Αν ${\lambda }^{\prime }$ είναι το μήκος κύματος των σκεδαζόμενων φωτονίων, τότε σύμφωνα με την εξίσωση Compton έχουμε:

$${\lambda }^{\prime }-\lambda ={\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}(1-\sigma \upsilon \nu \phi )$$ $$\Rightarrow {\lambda }^{\prime }=\lambda +{\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}(1-\sigma \upsilon \nu {120}^0)$$ $$\Rightarrow {\lambda }^{\prime }=\lambda +{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}(5)$$

Σύμφωνα με την εκφώνηση για την κατά $20\mathrm{\%}$ μεταβολή του μήκους κύματος έχουμε:

$${\displaystyle \frac{\lambda ΄-\lambda }{\lambda }}\cdot 100\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\lambda ΄-\lambda }{\lambda }}=0,2$$ $$\Rightarrow \lambda ΄=1,2\lambda (6)$$

Από τις σχέσεις $(5)$ και $(6)$ βρίσκουμε:

$$1,2\lambda =\lambda +{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\lambda }{5}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}$$ $$\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{15}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}$$ $$\Rightarrow \lambda =1,84\cdot {10}^{-11}m$$

Μονάδες 6

4.4. Κατά τη σκέδαση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Αν ${{\rm E}}_{\phi }$ είναι η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου, ${{\rm E}}_{\phi }^{\prime }$ είναι η ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου και ${{\rm K}}_e$ είναι η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου μετά τη σκέδαση, τότε:

$${{\rm E}}_{\phi }={{\rm E}}_{\phi }^{\prime }+K_e$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}}+K_e$$ $$\Rightarrow K_e=hc({\displaystyle \frac{1}{\lambda }}-{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^{\prime }}})(7)$$

Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση $(6)$, η εξίσωση $(7)$ γίνεται:

$$K_e={\displaystyle \frac{hc}{6\lambda }}$$ $$\Rightarrow K_e=1,80\cdot {10}^{-15}J$$

Μονάδες 6