Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	32390	Ύλη:	1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Γ' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	32390
Ύλη:	1.8 Συνέχεια συνάρτησης 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση 2.3 Κανόνες παραγώγισης 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^{4} - 4 x + 2, x \in [0, 2]$ .

α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $[0, 2]$ , είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η $f$ δεν παραγωγίζεταιή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν.

Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4$ για κάθε $x \in [0, 2]$ . Είναι:

$f^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} = 1$ $\Leftrightarrow x = 1$

Επομένως, η $f$ έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο, το $x_{0} = 1$ .

β) Γνωρίζουμε ότι αν μία συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της $f$ .
Υπολογίζουμε τις τιμές της $f$ στα σημεία αυτά και στα άκρα του διαστήματος.
Από αυτές τις τιμές, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της $f$ .

Οι τιμές της $f$ στο κρίσιμο σημείο της $x_{0} = 1$ και στα άκρα του διαστήματος $[0, 2]$ είναι:

$f (1) = - 1, f (0) = 2 και f (2) = 10$

Άρα, η μέγιστη τιμή της $f$ στο $[0, 2]$ είναι ίση με 10 και η ελάχιστη τιμή της $f$ στο $[0, 2]$ είναι ίση με $- 1$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).