Τράπεζα Θεμάτων

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}-4x+5\), \(x∈\mathbb{R}\).

α) Να δείξετε ότι η \(f\) γράφεται στη μορφή \(f(x)=(x-2)^2+1\).
(Μονάδες 10)

β) Να αναφέρετε με ποιες μετατοπίσεις της \(y(x)=x^{2}\) προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\), την οποία και να χαράξετε στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) διαδοχικά γράφεται:

$$\begin{align} f(x) &=x^{2}-4x+5 \\ &=x^{2}-4x+4+1 \\ &=x^{2}-2\cdot 2\cdot x+2^{2}+1 \\ &=(x-2)^{2}+1 \end{align}$$

β)Παρατηρούμε ότι \(f(x)=y(x-2)+1\). Άρα, ηγραφική παράσταση της \(f\) προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(y(x)=x^{2}\) κατά δύο μονάδες δεξιά και μία μονάδα προς τα πάνω.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).