Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 32682 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 32682 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
α)
- Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου \(x^{2}+9x+18\).
(Μονάδες 4)
- Να λύσετε την εξίσωση \(|x+3|+|x^{2}+9x+18|=0\).
(Μονάδες 7)
β)
- Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου \(x^{2}+9x+18\), για τις διάφορες τιμές του αριθμού \(x\).
(Μονάδες 7)
- Να βρείτε τις τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει:
$$|x^{2}+9x+18|=-x^{2}-9x-18$$
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
- Το τριώνυμο \(x^{2}+9x+18\) έχει \(α=1\), \(β=9\), \(γ=18\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=9^{2}-4\cdot 1\cdot 18=81-72=9>0$$
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-9\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-9+3}{2}=-3 \\ \dfrac{-9-3}{2}=-6 \end{cases}$$
- Επειδή \(|x+3|\ge 0\) και \(|x^{2}+9x+18|\ge 0\), ισοδύναμα βρίσκουμε:
$$|x+3|=0\ \ \text{και}\ \ |x^{2}+9x+18|=0 $$ $$\Leftrightarrow x+3=0\ \ \text{και}\ \ x^{2}+9x+18=0 $$ $$\overset{(ai)}{\Leftrightarrow} x=-3\ \ \text{και}\ \ \{x=-3\ \ \text{ή}\ \ x=-6\}$$
Άρα, τελικά \(x=-3\).
β)
- Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:
$$x^{2}+9x+18<0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-6,-3)$$
και
$$x^{2}+9x+18>0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-6)\cup (-3,+\infty)$$
- Η εξίσωση γράφεται:
$$|x^{2}+9x+18|=-(x^{2}+9x+18),$$
που ισχύει αν και μόνο αν:
$$x^{2}+9x-18\le 0$$
Άρα, από το ερώτημα (βi) συμπεραίνουμε ότι \(x\in [-6,-3]\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).