Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	32682	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	32682
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

α)

Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου $x^{2} + 9 x + 18$ .

(Μονάδες 4)

Να λύσετε την εξίσωση $| x + 3 | + | x^{2} + 9 x + 18 | = 0$ .

(Μονάδες 7)

β)

Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου $x^{2} + 9 x + 18$ , για τις διάφορες τιμές του αριθμού $x$ .

(Μονάδες 7)

Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει:

$| x^{2} + 9 x + 18 | = - x^{2} - 9 x - 18$

(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)

Το τριώνυμο $x^{2} + 9 x + 18$ έχει $α = 1$ , $β = 9$ , $γ = 18$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$ $= {\begin{cases} \frac{- 9 + 3}{2} = - 3 \\ \frac{- 9 - 3}{2} = - 6 \end{cases}$

Επειδή $| x + 3 | \geq 0$ και $| x^{2} + 9 x + 18 | \geq 0$ , ισοδύναμα βρίσκουμε:

$| x + 3 | = 0 και | x^{2} + 9 x + 18 | = 0$ $\Leftrightarrow x + 3 = 0 και x^{2} + 9 x + 18 = 0$ $\overset{(a i)}{\Leftrightarrow} x = - 3 και {x = - 3 ή x = - 6}$

Άρα, τελικά $x = - 3$ .

β)

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$x^{2} + 9 x + 18 < 0$ $\Leftrightarrow x \in (- 6, - 3)$

και

$x^{2} + 9 x + 18 > 0$ $\Leftrightarrow x \in (- \infty, - 6) \cup (- 3, + \infty)$

Η εξίσωση γράφεται:

$| x^{2} + 9 x + 18 | = - (x^{2} + 9 x + 18),$

που ισχύει αν και μόνο αν:

$x^{2} + 9 x - 18 \leq 0$

Άρα, από το ερώτημα (βi) συμπεραίνουμε ότι $x \in [- 6, - 3]$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).