Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33579	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33579
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Οι αριθμοί : $x^{2} + 5, x^{2} + x, 2 x + 4$ , με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού $x$ .
(Μονάδες 6)

β) Αν $x = 3$ και ο αριθμός $x^{2} + 5$ είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:
i. τη διαφορά $ω$ της αριθμητικής προόδου,
(Μονάδες 5)

ii. τον πρώτο όρο της προόδου,
(Μονάδες 6)

iii. το άθροισμα $S = α_{15} + α_{16} + α_{17} + . . . + α_{24}$ .
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

α) Οι αριθμοί: $x^{2} + 5, x^{2} + x, 2 x + 4$ , με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, οπότε ισχύει η σχέση:

$2 (x^{2} + x) = (2 x + 4) + (x^{2} + 5)$

Έχουμε ισοδύναμα:

$2 x^{2} + 2 x = x^{2} + 2 x + 9$ $x^{2} = 9$ $x = 3 ή x = - 3$

β)
i. Αν ο αριθμός $x^{2} + 5$ είναι ο 4ος όρος της προόδου, τότε ο $x^{2} + x$ θα είναι ο 5ος όρος της.
Άρα για $x = 3$ , $α_{4} = 3^{2} + 5 = 14$ και $α_{5} = 3^{2} + 3 = 12$ .
Οπότε $ω = α_{5} - α_{4} = 12 - 14 = - 2$

ii. Ισχύει $α_{4} = α_{1} + 3 ω$ , δηλαδή $14 = α_{1} + 3 \cdot (- 2)$ , οπότε $α_{1} = 20$ .

iii. Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$\begin{aligned} S & = α_{15} + α_{16} + α_{17} + . . . + α_{24} \\ = (α_{1} + α_{2} + . . . . + α_{24}) - (α_{1} + α_{2} + . . . . + α_{14}) \\ = S_{24} - S_{14} \\ = \frac{24}{2} \cdot [2 \cdot 20 + 23 \cdot (- 2)] - \frac{14}{2} \cdot [2 \cdot 20 + 13 \cdot (- 2)] \\ = 12 \cdot (40 - 46) - 7 \cdot (40 - 26) \\ = - 170 \end{aligned}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).