Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33582 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33582 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο \(Π=40\ cm\). Αν \(x\ cm\) είναι τομήκος του ορθογωνίου, τότε να δείξετε ότι:
α) \(0<x<20\).
(Μονάδες 4)
β) Το εμβαδόν \(Ε(x)\) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση \(Ε(x)=20x-x^{2}\).
(Μονάδες 8)
γ) Για το εμβαδόν \(Ε(x)\) του ορθογωνίου ισχύει: \(Ε(x)\le 100\), για κάθε \(x\in (0,20)\).
(Μονάδες 6)
δ) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο \(40 \ cm\), εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς \(10\ cm\).
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα ορθογώνιο με περίμετρο \(Π=40\ cm\), το μήκος του είναι \(x\ cm\) και το πλάτος του \(y\ cm\), με \(x\), \(y>0\).
Τότε:
$$Π=40 $$ $$\Leftrightarrow 2x+2y=40 $$ $$\Leftrightarrow x+y=20 $$ $$\Leftrightarrow y=20-x$$
Όμως \(x\), \(y>0\), οπότε \(x>0\) και \(20-x>0 \Leftrightarrow x<20\). Τελικά \(0<x<20\).
β) Το εμβαδόν \(Ε(x)\) του ορθογωνίου είναι:
\(Ε=x\cdot y\), δηλαδή \(Ε(x)=x\cdot (20-x)=20x-x^{2}\).
γ) Έχουμε ισοδύναμα:
$$Ε(x)\le 100 $$ $$\Leftrightarrow 20x-x^{2}\le 100 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-20x+100\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-10)^{2}\ge 0$$
που ισχύει για κάθε \(x\in (0,20)\).
δ) Από το γ) ερώτημα, \(Ε(x)\le 100\), για κάθε \(x\in (0,20)\). Άρα η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \(100\ cm^{2}\).
Άρα:
$$Ε(x)=100 $$ $$\Leftrightarrow (x-10)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=10$$
οπότε και \(y=20-x=20-10=10\), δηλαδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(x=y=10 \ cm\). Τελικά το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει το τετράγωνο πλευράς \(10\ cm\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).