Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33582	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33582
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο $Π = 40 c m$ . Αν $x c m$ είναι τομήκος του ορθογωνίου, τότε να δείξετε ότι:

α) $0 < x < 20$ .
(Μονάδες 4)

β) Το εμβαδόν $Ε (x)$ του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση $Ε (x) = 20 x - x^{2}$ .
(Μονάδες 8)

γ) Για το εμβαδόν $Ε (x)$ του ορθογωνίου ισχύει: $Ε (x) \leq 100$ , για κάθε $x \in (0, 20)$ .
(Μονάδες 6)

δ) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο $40 c m$ , εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς $10 c m$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα ορθογώνιο με περίμετρο $Π = 40 c m$ , το μήκος του είναι $x c m$ και το πλάτος του $y c m$ , με $x$ , $y > 0$ .

Τότε:

$Π = 40$ $\Leftrightarrow 2 x + 2 y = 40$ $\Leftrightarrow x + y = 20$ $\Leftrightarrow y = 20 - x$

Όμως $x$ , $y > 0$ , οπότε $x > 0$ και $20 - x > 0 \Leftrightarrow x < 20$ . Τελικά $0 < x < 20$ .

β) Το εμβαδόν $Ε (x)$ του ορθογωνίου είναι:
$Ε = x \cdot y$ , δηλαδή $Ε (x) = x \cdot (20 - x) = 20 x - x^{2}$ .

γ) Έχουμε ισοδύναμα:

$Ε (x) \leq 100$ $\Leftrightarrow 20 x - x^{2} \leq 100$ $\Leftrightarrow x^{2} - 20 x + 100 \geq 0$ $\Leftrightarrow (x - 10)^{2} \geq 0$

που ισχύει για κάθε $x \in (0, 20)$ .

δ) Από το γ) ερώτημα, $Ε (x) \leq 100$ , για κάθε $x \in (0, 20)$ . Άρα η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι $100 c m^{2}$ .

Άρα:

$Ε (x) = 100$ $\Leftrightarrow (x - 10)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow x = 10$

οπότε και $y = 20 - x = 20 - 10 = 10$ , δηλαδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $x = y = 10 c m$ . Τελικά το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει το τετράγωνο πλευράς $10 c m$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).