Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33583	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33583
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται αριθμητική πρόοδος ( $α_{ν}$ ) με $α_{3} = 10$ και $α_{20} = 61$ .

α) Να αποδείξετε ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι $α_{1} = 4$ και η διαφορά είναι $ω = 3$ .
(Μονάδες 8)

β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός $333$ είναι όρος της προόδου.
(Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι $x$ και $y$ της παραπάνω προόδου ( $α_{ν}$ ), τέτοιοι ώστε να ισχύει: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

${\begin{cases} α_{3} = 10 \\ α_{20} = 61 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} α_{1} + 2 ω = 10 \\ α_{1} + 19 ω = 61 \end{cases}$ $\overset{(-)}{\Leftrightarrow} {\begin{cases} 17 ω = 51 \\ α_{1} + 2 ω = 10 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} ω = 3 \\ α_{1} = 4 \end{cases}$

β) Έχουμε:

$α_{ν} = 333$ $\Leftrightarrow α_{1} + (ν - 1) ω = 333$ $\Leftrightarrow 4 + (ν - 1) \cdot 3 = 333$ $\Leftrightarrow (ν - 1) = \frac{329}{3}$ $\Leftrightarrow ν = \frac{332}{3} \notin N$

Συνεπώς ο $333$ δεν είναι όρος της προόδου.

γ) Εάν οι $x$ και $y$ είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου ( $α_{ν}$ ) και εφόσον:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ $\Leftrightarrow 3 x = 2 y < 3 y$ $\Leftrightarrow x < y$

θα ισχύει $y = x + 3$ . Οπότε:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ $\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{x + 3}{3}$ $\Leftrightarrow 3 x = 2 x + 6$ $\Leftrightarrow x = 6$

Όμως ο $x = 6$ δεν μπορεί να είναι όρος της παραπάνω προόδου, αφού:

$α_{ν} = 6$ $\Leftrightarrow α_{1} + (ν - 1) ω = 6$ $\Leftrightarrow 4 + (ν - 1) \cdot 3 = 6$ $\Leftrightarrow (ν - 1) = \frac{2}{3}$ $\Leftrightarrow ν = \frac{5}{3} \notin N$

Άρα δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι $x$ και $y$ της παραπάνω προόδου ώστε να ισχύει $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).