Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33584 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33584 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση: \(x^{2}-2x+λ=0\), με παράμετρο \(λ<1\).
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) διαφορετικές μεταξύ τους.
(Μονάδες 6)
β) Να δείξετε ότι: \(x_{1}+x_{2}=2\).
(Μονάδες 4)
γ) Αν για τις ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) ισχύει επιπλέον \(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\), τότε:
Να δείξετε ότι: \(x_{1}-x_{2}=4\).
(Μονάδες 7)Να βρείτε τις ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) και η τιμή του \(λ\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot λ$$ $$=4-4λ>0$$
αφού:
$$λ<1$$ $$\overset{\cdot (-4)}{ \Leftrightarrow }-4λ>-4$$ $$\overset{(+4)}{ \Leftrightarrow }4-4λ>0$$
Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) διαφορετικές μεταξύ τους.
β) Έχουμε: \(x_{1}+x_{2}=S=\dfrac{-β}{α}=\dfrac{-(-2)}{1}=2\).
γ)
Έχουμε \(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\), οπότε:
$$\begin{cases} x_{1}-2=x_{2}+2 \\ ή \\ x_{1}-2=-x_{2}-2 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ ή \\ x_{1}+x_{2}=0 \end{cases}$$
που απορρίπτεται λόγω β) ερωτήματος.
Άρα \(x_{1}-x_{2}=4\).
Από τα ερωτήματα β) και γ) έχουμε \(x_{1}+x_{2}=2\) και \(x_{1}-x_{2}=4\). Άρα:
$$\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases}$$ $$\overset{(+)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} 2x_{1}=6 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=3 \\ x_{2}=-1 \end{cases}$$
Το γινόμενο των ριζών είναι \(P=\dfrac{γ}{α}=λ\), οπότε \(λ=x_{1}x_{2}=-3\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).