Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33584 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33584
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση: x2−2x+λ=0, με παράμετρο λ<1.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες x1, x2 διαφορετικές μεταξύ τους.
(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι: x1+x2=2.
(Μονάδες 4)

γ) Αν για τις ρίζες x1, x2 ισχύει επιπλέον |x1−2|=|x2+2|, τότε:

  1. Να δείξετε ότι: x1−x2=4.
    (Μονάδες 7)

  2. Να βρείτε τις ρίζες x1, x2 και η τιμή του λ.
    (Μονάδες 8)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

Δ=β2−4αγ =(−2)2−4⋅1⋅λ =4−4λ>0

αφού:

λ<1 ⇔⋅(−4)−4λ>−4 ⇔(+4)4−4λ>0

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες x1, x2 διαφορετικές μεταξύ τους.

β) Έχουμε: x1+x2=S=−βα=−(−2)1=2.

γ)

  1. Έχουμε |x1−2|=|x2+2|, οπότε:

    {x1−2=x2+2ήx1−2=−x2−2 ⇔{x1−x2=4ήx1+x2=0

    που απορρίπτεται λόγω β) ερωτήματος.

    Άρα x1−x2=4.

  2. Από τα ερωτήματα β) και γ) έχουμε x1+x2=2 και x1−x2=4. Άρα:

    {x1−x2=4x1+x2=2 ⇔(+){2x1=6x1+x2=2 ⇔{x1=3x2=−1

    Το γινόμενο των ριζών είναι P=γα=λ, οπότε λ=x1x2=−3.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).