Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33585	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33585
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση $α x^{2} - (α^{2} - 1) x - α = 0$ , με παράμετρο $α \neq 0$ .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: $Δ = (α^{2} + 1)^{2}$ .
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις ρίζες $ρ_{1}$ και $ρ_{2}$ της εξίσωσης, ως συνάρτηση του $α$ .
(Μονάδες 10)

Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι $ρ_{1} = α$ και $ρ_{2} = - \frac{1}{α}$ ,

γ) Να βρείτε τις τιμές του $α$ ώστε $| ρ_{1} - ρ_{2} | = 2$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου $α x^{2} - (α^{2} - 1) x - α$ , με $α \neq 0$ είναι:

$Δ = [- (α^{2} - 1)]^{2} - 4 \cdot α \cdot (- α)$ $= (α^{2} - 1)^{2} + 4 α^{2}$ $= α^{4} - 2 α^{2} + 1 + 4 α^{2}$ $= α^{4} + 2 α^{2} + 1$ $= (α^{2} + 1)^{2}$

β) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι $Δ > 0$ για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $α$ , οπότε η εξίσωση $α x^{2} - (α^{2} - 1) x - α = 0$ έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

$ρ_{1} = \frac{- [- (α^{2} - 1)] + \sqrt{(α^{2} + 1)^{2}}}{2 α}$ $= \frac{(α^{2} - 1) + (α^{2} + 1)}{2 α} = α$

$ρ_{2} = \frac{- [- (α^{2} - 1)] - \sqrt{(α^{2} + 1)^{2}}}{2 α}$ $= \frac{(α^{2} - 1) - (α^{2} + 1)}{2 α} = - \frac{1}{α}$

γ) Έχουμε:

$| ρ_{1} - ρ_{2} | = 2$ $\Leftrightarrow | α - (- \frac{1}{α}) | = 2$ $\Leftrightarrow | α + \frac{1}{α} | = 2$ $\Leftrightarrow | \frac{α^{2} + 1}{α} | = 2$ $\Leftrightarrow α^{2} + 1 = 2 | α |$ $\Leftrightarrow | α |^{2} - 2 | α | + 1 = 0$ $\Leftrightarrow (| α | - 1)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow | α | - 1 = 0$ $\Leftrightarrow | α | = 1$ $\Leftrightarrow α = \pm 1$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).