Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33585 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33585 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση \(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\), με παράμετρο \(α\ne 0\).
α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: \(Δ=(α^{2}+1)^{2}\).
(Μονάδες 5)
β) Να βρείτε τις ρίζες \(ρ_{1}\) και \(ρ_{2}\) της εξίσωσης, ως συνάρτηση του \(α\).
(Μονάδες 10)
Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι \(ρ_{1}=α\) και \(ρ_{2}=-\dfrac{1}{α}\),
γ) Να βρείτε τις τιμές του \(α\) ώστε \(|ρ_{1}-ρ_{2}|=2\).
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου \(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α\), με \(α\ne 0\) είναι:
$$Δ=[-(α^{2}-1)]^{2}-4\cdot α\cdot (-α)$$ $$=(α^{2}-1)^{2}+4α^{2}$$ $$=α^{4}-2α^{2}+1+4α^{2}$$ $$=α^{4}+2α^{2}+1$$ $$=(α^{2}+1)^{2}$$
β) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι \(Δ>0\) για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \(α\), οπότε η εξίσωση \(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\) έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:
$$ρ_{1}=\dfrac{-[-(α^{2}-1)]+\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}-1)+(α^{2}+1)}{2α}=α$$
$$ρ_{2}=\dfrac{-[-(α^{2}-1)]-\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}-1)-(α^{2}+1)}{2α}=-\dfrac{1}{α}$$
γ) Έχουμε:
$$|ρ_{1}-ρ_{2}|=2 $$ $$\Leftrightarrow |α-(-\dfrac{1}{α})|=2 $$ $$\Leftrightarrow |α+\dfrac{1}{α}|=2 $$ $$\Leftrightarrow |\dfrac{α^{2}+1}{α}|=2 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}+1=2|α| $$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}-2|α|+1=0 $$ $$\Leftrightarrow (|α|-1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|-1=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|=1 $$ $$\Leftrightarrow α=\pm 1$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).