Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33587	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33587
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο $f(x)=-x^{2}+2x+3$, $x\in \mathbb{R}$.

α) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του $x\in \mathbb{R}$.
(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:

$$f(2,999)\cdot f(-1,002)$$

(Μονάδες 7)

γ) Αν $-3<α<3$, να βρείτε το πρόσημο του αριθμού $-α^{2}+2|α|+3$.
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $f(x)=-x^{2}+2x+3$ έχει διακρίνουσα:

$$Δ=2^{2}-4\cdot (-1)\cdot 3$$ $$=4+12=16>0$$

Το άθροισμα των ριζών του είναι:

$$S=x_{1}+x_{2}$$ $$=\dfrac{-2}{-1}=2$$

και το γινόμενό τους είναι:

$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{3}{-1}=-3$$

Άρα $x_{1}=3$, $x_{2}=-1$ και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:

Οπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για $x\in (-1,3)$ και αρνητικές τιμές για $x\in (-\infty ,-1)\cup (3,+\infty)$.

β) Εφόσον $2,999\in (-1,3)$, από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι $f(2,999)>0$ και επειδή $-1,002<-1$ θα είναι $f(-1,002)<0$. Άρα:

$$f(2,999)\cdot f(-1,002)<0$$

γ) Αν:

$$-3<α<3 \Leftrightarrow |α|<3$$

δηλαδή $0\le |α|<3$, τότε ο αριθμός $-α^{2}+2|α|+3=-|α|^{2}+2|α|+3=f(|α|)$ είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου $f(x)=-x^{2}+2x+3$ στο α) ερώτημα.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).