Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33597	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33597
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{g}$ των συναρτήσεων $f$ και $g$ αντίστοιχα, με:

$f (x) = | x - 2 | και g (x) = 1, x \in R$

α) Με τη βοήθεια του παραπάνω σχήματος, να βρείτε:
i. τα σημεία τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ .
(Μονάδες 5)

ii. τις τιμές του $x \in R$ , για τις οποίες η $C_{f}$ είναι κάτω από την $C_{g}$ .
(Μονάδες 5)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα αi) και αii).
(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του $x \in R$ η παράσταση $Α = \frac{\sqrt{1 - f (x)}}{f (x)}$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς.
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα βλέπουμε ότι:
i. τα σημεία τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ είναι τα $Α (1, 1)$ και $Β (3, 1)$ .
ii. η $C_{f}$ είναι κάτω από την $C_{g}$ για $x \in (1, 3)$ .

β)
i. Οι τετμημένες των σημείων τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow | x - 2 | = 1$

Έχουμε ισοδύναμα:

$| x - 2 | = 1$ $\Rightarrow {\begin{cases} x - 2 = - 1 \\ x - 2 = 1 \end{cases}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ x = 3 \end{cases}$

Έχουμε επίσης $f (1) = | 1 - 2 | = 1 = g (1)$ και $f (3) = | 3 - 2 | = 1 = g (3)$ , οπότε τα κοινά σημεία των δυο γραφικών παραστάσεων είναι τα $Α (1, 1)$ και $Β (3, 1)$ .

ii. Οι τιμές του $x \in R$ για τις οποίες η $C_{f}$ είναι κάτω από την $C_{g}$ είναι λύσεις της ανίσωσης:

$f (x) < g (x)$ $\Leftrightarrow | x - 2 | < 1$

Έχουμε ισοδύναμα:

$| x - 2 | < 1$ $\Leftrightarrow - 1 < x - 2 < 1$ $\Leftrightarrow 2 - 1 < x < 2 + 1$ $\Leftrightarrow 1 < x < 3$

δηλαδή η $C_{f}$ είναι κάτω από την $C_{g}$ για $x \in (1, 3)$ .

γ) Η παράσταση $Α$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

${\begin{cases} 1 - f (x) \geq 0 \\ και \\ f (x) \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) \leq 1 \\ και \\ f (x) \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} | x - 2 | \leq 1 \\ και \\ | x - 2 | \neq 0 \end{cases}$ $\overset{(β i i)}{\Leftrightarrow} {\begin{cases} 1 \leq x \leq 3 \\ και \\ x \neq 2 \end{cases}$

Τελικά, η παράσταση $Α$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς για $x \in [1, 2) \cup (2, 3]$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).