Τράπεζα Θεμάτων

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-6x+λ-3\) έχει \(α=1\), \(β=-6\), \(γ=λ-3\) και διακρίνουσα:

$$Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-3)$$ $$=36-4λ+12=48-4λ$$

β) Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

$$Δ>0$$ $$\Leftrightarrow 48-4λ>0$$ $$\Leftrightarrow -4λ>-48$$ $$\Leftrightarrow λ\lt 12$$

γ) Το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου είναι:

$$S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{-6}{1}=6$$

και το γινόμενο των ριζών του είναι:

$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{λ-3}{1}=λ-3$$

Το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν

$$Δ>0 \overset{(β)}{\Leftrightarrow} λ\lt 12$$

Επίσης, οι ρίζες είναι ομόσημες και θετικές αν και μόνο αν:

$$\begin{cases} P>0 \\ S>0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ-3>0 \\ 6>0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow λ>3$$

Άρα, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες και θετικές ρίζες αν και μόνο αν

$$λ\lt 12 \text{ και } λ>3 \Leftrightarrow 3\lt λ\lt 12$$

Επειδή ο συντελεστής του \(x^{2}\) είναι \(1>0\), το τριώνυμο είναι θετικό για τιμές του \(x\) εκτός των ριζών \(x_{1},x_{2}\) και αρνητικό εντός των ριζών.
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επειδή \(x_{1}<μ \lt x_{2}\) είναι \(μ>0\) αφού \(x_{1}>0\) και από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι:

$$f(μ)\lt 0$$

Επίσης, αφού \(κ\lt 0\) και \(0\lt x_{1}\) είναι \(κ\lt x_{1}\).
Άρα, από τον πίνακα προσήμων διαπιστώνουμε ότι

$$f(κ)>0$$

Τελικά είναι \(κ\lt 0, μ>0\), \(f(κ)>0\) και \(f(μ)\lt 0\). Οπότε:

$$κ\cdot f(κ)\cdot μ\cdot f(μ)>0$$