Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33701	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33701
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = (x - 1)^{2} - 4$ και $g (x) = | x - 1 | + 2$ με $x \in R$ .

α) Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{'} x$ .
(Μονάδες 9)

β) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του $x$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{'} x$ .
(Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{'} x$ αν και μόνο αν $f (x) > 0$ , οπότε ισοδύναμα έχουμε:

$(x - 1)^{2} - 4 > 0$ $\Leftrightarrow (x - 1)^{2} > 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{(x - 1)^{2}} > 4$ $\Leftrightarrow | x - 1 | > 2$

Η τελευταία ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν:

$x - 1 < - 2 ή x - 1 > 2$

από όπου ισοδύναμα βρίσκουμε ότι:

$x < - 1 ή x > 3$

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{'} x$ αν και μόνο αν:

$g (x) > 0$ $\Leftrightarrow | x - 1 | + 2 > 0$

το οποίο ισχύει για κάθε $x \in R$ αφού $| x - 1 | \geq 0$ και $2 > 0$ .

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ , προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow (x - 1)^{2} - 4 = | x - 1 | + 2$

η οποία γράφεται:

$| x - 1 |^{2} - 4 = | x - 1 | + 2$ $\Leftrightarrow | x - 1 |^{2} - | x - 1 | - 6 = 0$

Στην τελευταία σχέση θέτουμε $| x - 1 | = y$ , οπότε η εξίσωση γράφεται:

$y^{2} - y - 6 = 0$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)$ $= 1 + 24 = 25 > 0$

και ρίζες τις:

$y_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{1 \pm 5}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{1 + 5}{2} = 3 \\ \frac{1 - 5}{2} = - 2 \end{cases}$

Άρα για $y = | x - 1 |$ έχουμε:

$| x - 1 | = 3 \Leftrightarrow (x - 1 = 3 ή x - 1 = - 3) \Leftrightarrow x = 4 ή x = - 2$
$| x - 1 | = - 2$ που είναι αδύνατη

Θέτοντας $x = 4$ στον τύπο της συνάρτησης $g$ βρίσκουμε:

$g (4) = | 4 - 1 | + 2$ $= | 3 | + 2 = 5$

Θέτοντας $x = - 2$ στον τύπο της συνάρτησης $g$ βρίσκουμε:

$g (- 2) = | - 2 - 1 | + 2$ $= | - 3 | + 2$ $= 3 + 2 = 5$

Άρα, τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ είναι τα:

$Α (- 2, 5) και Β (4, 5)$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).