Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33711	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33711
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο:

$x^{2} - 2 x - 8$

α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $x$ .
(Μονάδες 10)

β) Αν $κ = - \frac{8889}{4444}$ , η τιμή της παράστασης $κ^{2} - 2 κ - 8$ είναι μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)

γ) Αν ισχύει $- 4 < μ < 4$ , ποιο είναι το πρόσημο της τιμής της παράστασης:

$μ^{2} - 2 | μ | - 8$

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^{2} - 2 x - 8$ έχει $α = 1$ , $β = - 2$ , $γ = - 8$ και διακρίνουσα

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)$ $= 4 + 32 = 36 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$ $= {\begin{cases} \frac{2 + 6}{2} = 4 \\ \frac{2 - 6}{2} = - 2 \end{cases}$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$x^{2} - 2 x - 8 < 0$ $\Leftrightarrow - 2 < x < 4$ $\Leftrightarrow x \in (- 2, 4)$

και:

$x^{2} - 2 x - 8 > 0$ $\Leftrightarrow (x < - 2 ή x > 4)$ $\Leftrightarrow x \in (- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$

β) Για να βρούμε το πρόσημο της παράστασης $κ^{2} - 2 κ - 8$ πρέπει να γνωρίζουμε σε ποιο από τα διαστήματα του ερωτήματος α) ανήκει ο $κ = - \frac{8889}{4444}$ . Συγκρίνουμε τον $κ$ με το $- 2$ :

$κ - (- 2) = - \frac{8889}{4444} + 2$ $= - \frac{8889}{4444} + \frac{8888}{4444}$ $= - \frac{1}{4444} < 0$

Άρα, $κ - (- 2) < 0 \Leftrightarrow κ < - 2$ . Οπότε, από τον πίνακα του ερωτήματος α) συμπεραίνουμε ότι $κ^{2} - 2 κ - 8 > 0$ .

γ) Η δοθείσα παράσταση γράφεται:

$μ^{2} - 2 | μ | - 8 = | μ |^{2} - 2 | μ | - 8$

Επομένως προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για $x = | μ |$ .
Επίσης έχουμε ότι:

$- 4 < μ < 4$ $\Leftrightarrow | μ | < 4$ $\Leftrightarrow 0 \leq | μ | < 4$

Από τον πίνακα προσήμων του ερωτήματος α) διαπιστώνουμε ότι για $0 \leq | μ | < 4$ είναι:

$| μ |^{2} - 2 | μ | - 8 < 0$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).