Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33712 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33712
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο: x2+βx+β2, όπου βR.
α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου.
(Μονάδες 4)

β)
i. Αν β0, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου;
(Μονάδες 7)

ii. Πως αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν β=0 ;
(Μονάδες 6)

γ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

α2+αβ+β2>0

για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. (Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: Δ=β241β2=3β2

β)
i. Για β0 ισχύει ότι: Δ=3β2<0.
Επειδή ο συντελεστής του x2 είναι 1>0, το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε xR.

ii. Για β=0 είναι Δ=0, οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε xR{0}, αφού για x=0 μηδενίζεται.

γ) Το τριώνυμο α2+αβ+β2 προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για x=α. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

  • Περίπτωση 1η
    Αν β0 τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:

α2+αβ+β2>0.

  • Περίπτωση 2η
    Αν β=0 (οπότε α0 ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:

α2+αβ+β2>0.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).