Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33712	Ύλη:	4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33712
Ύλη:	4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο: $x^{2}+βx+β^{2}$, όπου $β\in \mathbb{R}$.
α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα $Δ$ του τριωνύμου.
(Μονάδες 4)

β)
i. Αν $β≠0$, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου;
(Μονάδες 7)

ii. Πως αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν $β=0$ ;
(Μονάδες 6)

γ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0$$

για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α,\ β$ που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα $0$. (Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: $Δ=β^{2}-4⋅1⋅β^{2}=-3β^{2}$

β)
i. Για $β≠0$ ισχύει ότι: $Δ=-3β^{2}\lt 0.$
Επειδή ο συντελεστής του $x^{2}$ είναι $1>0$, το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

ii. Για $β=0$ είναι $Δ=0$, οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε $x\in \mathbb{R}-\{0\}$, αφού για $x=0$ μηδενίζεται.

γ) Το τριώνυμο $α^{2}+αβ+β^{2}$ προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για $x=α$. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Περίπτωση 1η
Αν $β≠0$ τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$

Περίπτωση 2η
Αν $β=0$ (οπότε $α≠0$ ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).