Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33754	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33754
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Μαΐ-2024

ΘΕΜΑ 4

Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μια ημέρα, η εταιρία $Α$ χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο:

$$y=60+0,20x$$

Όπου $x$ είναι η απόσταση που διανύθηκε σε $km$ και $y$ το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.

α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας $Α$ ο οποίος, σε μια ημέρα, ταξίδεψε $400\ Km$;
(Μονάδες 5)

β) Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε ένας πελάτης ο οποίος για μια ημέρα πλήρωσε $150$ ευρώ;
(Μονάδες 5)

γ) Μια άλλη εταιρεία, η $Β$, χρεώνει τους πελάτες της ανά ημέρα σύμφωνα με τον τύπο:

$$y=80+0,10x$$

όπου, όπως και προηγουμένως, $x$ είναι η απόσταση που διανύθηκε σε $km$ και $y$ είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες μας συμφέρει να επιλέξουμε, ανάλογα με την απόσταση που σκοπεύουμε να διανύσουμε.
(Μονάδες 10)

δ) Αν:

$$f(x)=60+0,20x\ \ \text{και}\ \ g(x)=80+0,10x$$

είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών $Α$ και $Β$ αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιμή κάθε μιας από τις συντεταγμένες σε σχέση με το πρόβλημα το ερωτήματος γ).
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται $x=400$ και βρίσκουμε:

$$y=60+0,20\cdot 400=140\ \text{ευρώ}$$

β) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται $y=150$ και βρίσκουμε:

$$150=60+0,20x $$ $$\Leftrightarrow 90=0,20x $$ $$\Leftrightarrow x=450\ km$$

γ) Η εταιρεία $Α$ χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία $Β$ αν και μόνο αν:

$$60+0,20x<80+0,10x $$ $$\Leftrightarrow 0,20x-0,10x<80-60 $$ $$\Leftrightarrow 0,10x<20 $$ $$\Leftrightarrow x<200\ km$$

Συνεπώς η εταιρεία $Α$ χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία $Β$ αν ο πελάτης διανύσει λιγότερα από $200\ km$. Με τον ίδιο συλλογισμό, συμπεραίνουμε ότι η εταιρεία $Β$ χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία $Α$ αν ο πελάτης διανύσει περισσότερα από $200\ km$.

δ) Επειδή o αριθμός $x$ εκφράζει απόσταση θα πρέπει $x\ge 0$. Άρα, οι συναρτήσεις $f$ και $g$ έχουν πεδίο ορισμού το $[0,+\infty)$. Οι τετμημένες των σημείων τομής προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow 60+0,20x=80+0,10x $$ $$\Leftrightarrow 0,20x-0,10x=80-60 $$ $$\Leftrightarrow 0,10x=20 $$ $$\Leftrightarrow x=200>0\ \ \text{αποδεκτή}$$

Για $x=200$ είναι $f(200)=60+0,20\cdot 200=60+40=100$. Άρα, το σημείο τομής είναι το $Α(200,100)$.

Η τετμημένη $x=200$ του σημείου $Α$ εκφράζει τα χιλιόμετρα που θα πρέπει να διανύσει κάποιος με το αυτοκίνητο ώστε να πληρώσει και στις δύο εταιρείες το ίδιο ποσό, που εκφράζει η τεταγμένη $y=100$, έχοντας διανύσει τα ίδια χιλιόμετρα.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).