Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33826 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33826 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
α) Δίνεται η εξίσωση:
$$x^{4}-8x^{2}-9=0$$
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε την εξίσωση: \(x^{4}+βx^{2}+γ=0\) \((1)\) με παραμέτρους \(β,γ\in \mathbb{R}\).
Να δείξετε ότι αν \(γ<0\), τότε:
\(β^{2}-4γ>0\)
(Μονάδες 3)Η εξίσωση \((1)\) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Θέτοντας στην εξίσωση \(x^{4}-8x-9=0\) όπου \(x^{2}=u\ge 0\), γίνεται:
$$u^{2}-8u-9=0$$
Το τριώνυμο έχει \(α=1\), \(β=-8\), \(γ=-9\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ=(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot (-9)=64+39=100>0$$
Οι ρίζες του είναι οι:
$$u_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{100}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{8+10}{2}=\dfrac{18}{2}=9>0\ \ \text{δεκτή} \\ \dfrac{8-10}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1<0\ \ \text{απορρίπτεται} \end{cases}$$
Όμως έχουμε:
$$x^{2}=u $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=9 $$ $$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{9} $$ $$\Leftrightarrow x=\pm 3$$
β) Όπως και στο ερώτημα α), η εξίσωση \(x^{4}-βx^{2}+γ=0\), αν θέσουμε όπου \(x^{2}=u\) με \(u\ge 0\), ισοδύναμα γίνεται:
$$u^{2}+βu+γ=0$$
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \(Δ=β^{2}-4γ\), με \(β^{2}\ge 0\) και \(γ<0\) οπότε \(-γ>0\).
Συνεπώς, \(Δ>0\) ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.Επειδή \(Δ>0\) το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες \(u_{1},u_{2}\). Από τους τύπους Vietaτο γινόμενο των ριζών είναι \(Ρ=\dfrac{γ}{α}=γ<0\). Άρα, οι ρίζες είναι μη μηδενικές και ετερόσημες.
Έστω:
\(\begin{cases} u_{1}<0\ \text{,}\ &\text{απορρίπτεται} \\ u_{2}>0\ \text{,}\ &\text{δεκτή} \end{cases}\).
Τότε έχουμε:
$$x^{2}=u_{2} $$ $$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{u_{2}}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).