Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33826	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33826
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Δίνεται η εξίσωση:

$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$

Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε την εξίσωση: $x^{4} + β x^{2} + γ = 0$ $(1)$ με παραμέτρους $β, γ \in R$ .
Να δείξετε ότι αν $γ < 0$ , τότε:

$β^{2} - 4 γ > 0$
(Μονάδες 3)
Η εξίσωση $(1)$ έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Θέτοντας στην εξίσωση $x^{4} - 8 x - 9 = 0$ όπου $x^{2} = u \geq 0$ , γίνεται:

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

Το τριώνυμο έχει $α = 1$ , $β = - 8$ , $γ = - 9$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9) = 64 + 39 = 100 > 0$

Οι ρίζες του είναι οι:

$u_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 8) \pm \sqrt{100}}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 > 0 δεκτή \\ \frac{8 - 10}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 < 0 απορρίπτεται \end{cases}$

Όμως έχουμε:

$x^{2} = u$ $\Leftrightarrow x^{2} = 9$ $\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9}$ $\Leftrightarrow x = \pm 3$

β) Όπως και στο ερώτημα α), η εξίσωση $x^{4} - β x^{2} + γ = 0$ , αν θέσουμε όπου $x^{2} = u$ με $u \geq 0$ , ισοδύναμα γίνεται:

$u^{2} + β u + γ = 0$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $Δ = β^{2} - 4 γ$ , με $β^{2} \geq 0$ και $γ < 0$ οπότε $- γ > 0$ .
Συνεπώς, $Δ > 0$ ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.
Επειδή $Δ > 0$ το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες $u_{1}, u_{2}$ . Από τους τύπους Vietaτο γινόμενο των ριζών είναι $Ρ = \frac{γ}{α} = γ < 0$ . Άρα, οι ρίζες είναι μη μηδενικές και ετερόσημες.
Έστω:
${\begin{cases} u_{1} < 0, & απορρίπτεται \\ u_{2} > 0, & δεκτή \end{cases}$ .
Τότε έχουμε:

$x^{2} = u_{2}$ $\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{u_{2}}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).