Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33855 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33855 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
α) Θεωρούμε την εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\), με παράμετρο \(α\in \mathbb{R}\).
Να βρείτε για ποιες τιμές του \(α\) η εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
(Μονάδες 6)Να βρείτε την τιμή του \(α\) ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 6)
β) Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}+2x+3\), \(x\in \mathbb{R}\).
Να αποδείξετε ότι \(f(x)\ge 2\) για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες7)Να λύσετε την ανίσωση \(\sqrt{f(x)-2}\le 2\).
(Μονάδες 6)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\) ισοδύναμα γράφεται:
$$x^{2}+2x+3-α=0\ \ \ \ (1)$$
και έχει διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ=2^{2}-4\cdot 1\cdot (3-α)=$$ $$=4-12+4α=4α-8$$
- Η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:
$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-8>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α>8 $$ $$\Leftrightarrow α>2$$
Η εξίσωση \((1)\) έχει μια διπλή ρίζα αν και μόνο αν:
$$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-8=0 $$ $$\Leftrightarrow 4α=8 $$ $$\Leftrightarrow α=2$$
Για \(α=2\) η διπλή ρίζα είναι η:
$$x=\dfrac{-β}{2α}$$ $$=\dfrac{-2}{2}=-1$$
β)
Είναι:
$$f(x)\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}\ge 0$$
το οποίο ισχύει για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).
Από το ερώτημα β)i. έχουμε ότι:
$$f(x)\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow f(x)-2\ge 0$$
για κάθε \(x\in \mathbb{R}\). Οπότε ισοδύναμα έχουμε:
$$\sqrt{f(x)-2}\le 2 $$ $$\Leftrightarrow (\sqrt{f(x)-2})^{2}\le 2^{2} $$ $$\Leftrightarrow f(x)-2\le 4 $$ $$\Leftrightarrow f(x)\le 6 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\le 6 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-3\le 0$$
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)$$ $$=4+12=16>0$$
και ρίζες τις:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-2+4}{2}=1 \\ \dfrac{-2-4}{3}=-3 \end{cases}$$
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:
$$x^{2}+2x-3\le 0 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 1 $$ $$\Leftrightarrow x\in [-3,1]$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).