Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33858	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33858
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

Σε αριθμητική πρόοδο $(α_{ν})$ είναι $α_{2} = κ^{2}$ και $α_{3} = (κ + 1)^{2}$ , όπου $κ$ ακέραιος με $κ > 1$ .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά $ω$ της προόδου είναι περιττός αριθμός.
(Μονάδες 8)

β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι $α_{1} = 2$ , τότε:

Να βρείτε την τιμή του $κ$ και να αποδείξετε ότι $ω = 7$ .
(Μονάδες 8)
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $72$ είναι όρος της προόδου.
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Για τη διαφορά $ω$ της προόδου ισχύει ότι:

$ω = α_{3} - α_{2} = (κ + 1)^{2} - κ^{2}$ $= κ^{2} + 2 κ + 1 - κ^{2} = 2 κ + 1 (1)$

Άρα, η διαφορά $ω$ είναι περιττός αριθμός.

β)

Έχουμε ότι:

$α_{2} = α_{1} + ω$ $\overset{(1)}{\Leftrightarrow} κ^{2} = 2 + 2 κ + 1$ $\Leftrightarrow κ^{2} - 2 κ - 3 = 0$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16 > 0$

και ρίζες τις:

$κ_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 2) \pm \sqrt{16}}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ \frac{2 - 4}{2} = - 1 \end{cases}$

Η τιμή $κ = - 1$ απορρίπτεται γιατί $κ > 1$ . Άρα, $κ = 3$ . Οπότε, από τη σχέση $(1)$ έχουμε:

$ω = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Για να είναι ο $72$ όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός $ν$ τέτοιος ώστε:

$α_{ν} = 72$ $\Leftrightarrow α_{1} + (ν - 1) ω = 72$ $\Leftrightarrow 2 + (ν - 1) 7 = 72$ $\Leftrightarrow 2 + 7 ν - 7 = 72$ $\Leftrightarrow 7 ν = 77$ $\Leftrightarrow ν = 11$

Άρα, ο αριθμός $72$ είναι ο 11ος όρος της προόδου.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).