Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33888 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33888
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει:

(α−1)(1−β)>0

α) Να δείξετε ότι το 1 είναι μεταξύ των α και β.
(Μονάδες13)

β) Αν επιπλέον |β−α|=4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Κ=|α−1|+|1−β|

(Μονάδες 12)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αφού (α−1)(1−β)>0, οι (α−1) και (1−β) είναι ομόσημοι, οπότε:

{α−1>0και1−β>0 ⇔{α>1καιβ<1 ⇔β<1<α

ή

{α−1<0και1−β<0 ⇔{α<1καιβ>1 ⇔α<1<β

Σε κάθε περίπτωση το 1 είναι μεταξύ των α και β.

β) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

  1. Αν β<1<α, τότε:
    0<α−1⇒|α−1|=α−1,
    0<1−β⇒|1−β|=1−β και
    β−α<0⇒|β−α|=α−β άρα,
    |β−α|=4⇔α−β=4.
    Οπότε: Κ=|α−1|+|1−β|=α−1+1−β=α−β=4.

  2. Αν α<1<β, τότε:
    α−1<0⇒|α−1|=1−α,
    1−β<0⇒|1−β|=β−1 και
    β−α>0⇒|β−α|=β−α άρα,
    |β−α|=4⇔β−α=4.
    Οπότε: Κ=|α−1|+|1−β|=1−α+β−1=β−α=4.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).