Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33888	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33888
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $α$ και $β$ για τους οποίους ισχύει:

$$(α-1)(1-β)>0$$

α) Να δείξετε ότι το $1$ είναι μεταξύ των $α$ και $β$.
(Μονάδες13)

β) Αν επιπλέον $|β-α|=4$, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$$Κ=|α-1|+|1-β|$$

(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αφού $(α-1)(1-β)>0$, οι $(α-1)$ και $(1-β)$ είναι ομόσημοι, οπότε:

$$\begin{cases} α-1>0 \\ \text{και} \\ 1-β>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α>1 \\ \text{και} \\ β<1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow β<1<α$$

$$\begin{cases} α-1<0 \\ \text{και} \\ 1-β<0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α<1 \\ \text{και} \\ β>1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow α<1<β$$

Σε κάθε περίπτωση το $1$ είναι μεταξύ των $α$ και $β$.

β) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

Αν $β<1<α$, τότε:
$0<α-1 \Rightarrow |α-1|=α-1$,
$0<1-β \Rightarrow |1-β|=1-β$ και
$β-α<0 \Rightarrow |β-α|=α-β$ άρα,
$|β-α|=4 \Leftrightarrow α-β=4$.
Οπότε: $Κ=|α-1|+|1-β|=α-1+1-β=α-β=4$.
Αν $α<1<β$, τότε:
$α-1<0 \Rightarrow |α-1|=1-α$,
$1-β<0 \Rightarrow |1-β|=β-1$ και
$β-α>0 \Rightarrow |β-α|=β-α$ άρα,
$|β-α|=4 \Leftrightarrow β-α=4$.
Οπότε: $Κ=|α-1|+|1-β|=1-α+β-1=β-α=4$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).