Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33889	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33889
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε τις εξισώσεις

$3 x^{2} - 14 x + 8 = 0 (1)$

και

$8 x^{2} - 14 x + 3 = 0 (2)$

(Μονάδες10)

β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης $(2)$ είναι οι αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης $(1)$ και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής:

$α x^{2} + β x + γ = 0 (3)$

και

$γ x^{2} + β x + α = 0 (4)$

με

$α \cdot γ \neq 0$

Να αποδείξετε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι:
Αν ο αριθμός $ρ$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(3)$ και $α \cdot γ \neq 0$ , τότε

$ρ \neq 0$ .
(Μονάδες 5)
$\frac{1}{ρ}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(4)$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $3 x^{2} - 14 x + 8$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 14)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8$ $= 196 - 96 = 100 > 0$

οπότε η εξίσωση $3 x^{2} - 14 x + 8 = 0$ έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$x_{1} = \frac{- (- 14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3}$ $= \frac{14 + 10}{6} = 4$

και

$x_{2} = \frac{- (- 14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3}$ $= \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Το τριώνυμο $8 x^{2} - 14 x + 3$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 14)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3$ $= 196 - 96 = 100 > 0$

οπότε η εξίσωση $8 x^{2} - 14 x + 3 = 0$ έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$x_{1} = \frac{- (- 14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 8}$ $= \frac{14 + 10}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

και

$x_{2} = \frac{- (- 14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 8}$ $= \frac{14 - 10}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

β) Ο αριθμός $ρ$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(3)$ αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$α ρ^{2} + β ρ + γ = 0 (5)$

Εάν $ρ = 0$ , τότε από την σχέση $(5)$ προκύπτει $γ = 0$ , που είναι άτοπο, αφού $α \cdot γ \neq 0$ . Άρα $ρ \neq 0$ .
Ο $\frac{1}{ρ}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(4)$ αν και μόνο αν

$γ (\frac{1}{ρ})^{2} + β \cdot \frac{1}{ρ} + α = 0$ $\overset{(\cdot ρ^{2})}{⟺} γ + β ρ + α ρ^{2} = 0$

που ισχύει λόγω της σχέσης $(5)$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).