Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος $({\alpha }_{\nu })$ με λόγο $\lambda$ για την οποία ισχύουν:
${\alpha }_3=4,{\alpha }_5=16$ και $\lambda >0$.

α) Έχουμε:

$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_3=4\\ {\alpha }_5=16\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1\cdot {\lambda }^2=4\\ {\alpha }_1\cdot {\lambda }^4=16\end{array}$$ $$\stackrel{(÷)}{\iff }\{\begin{array}{l}{\lambda }^2=4\\ {\alpha }_1\cdot {\lambda }^2=4\end{array}$$ $$\stackrel{\lambda >0}{\iff }\{\begin{array}{l}\lambda =2\\ {\alpha }_1\cdot 2^2=4\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\lambda =2\\ {\alpha }_1=1\end{array}$$

β) Έχουμε:

$${\displaystyle \frac{{\beta }_{\nu +1}}{{\beta }_{\nu }}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_{\nu +1}}}}{{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_{\nu +1}}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{{\alpha }_{\nu }}{{\alpha }_{\nu +1}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{{\alpha }_{\nu +1}}{{\alpha }_{\nu }}}}}={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$$

οπότε $({\beta }_{\nu })$, με ${\beta }_{\nu }={\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_{\nu }}}$, $\nu =1,2,3,..$ είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο ${\beta }_1={\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_1}}=1$ και λόγο τον αντίστροφο του λόγου της $({\alpha }_{\nu })$, δηλαδή ${\lambda }^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

γ) Εφόσον $S_{10}$ είναι το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της $({\alpha }_{\nu })$, έχουμε:

$$S_{10}={\alpha }_1{\displaystyle \frac{{\lambda }^{10}-1}{\lambda -1}}$$ $$=1\cdot {\displaystyle \frac{2^{10}-1}{2-1}}=2^{10}-1$$

Το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της $({\beta }_{\nu })$ είναι:

$$S_{10}^{\prime }={\beta }_1{\displaystyle \frac{({\lambda }^{\prime }{)}^{10}-1}{{\lambda }^{\prime }-1}}$$ $$=1\cdot {\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{10}-1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}-1}}$$ $$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2^{10}}}-1}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1-2^{10}}{2^{10}}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2^{10}-1}{2^{10}}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{2\cdot (2^{10}-1)}{2^{10}}}$$ $$={\displaystyle \frac{1}{2^9}}{S}_{10}$$