Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33892	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33892
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε την ανίσωση $x^{2} + x - 6 < 0$ .
(Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση $| x - \frac{1}{2} | > 1$ .
(Μονάδες 5)

γ) Δίνεται το παρακάτω ορθογώνιο με πλευρές $α$ και $α + 1$ .

Ο αριθμός $α$ ικανοποιεί τη σχέση $| α - \frac{1}{2} | > 1$ . Αν για τον εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου ισχύει $Ε < 6$ , τότε:

Να δείξετε ότι $\frac{3}{2} < α < 2$ .
(Μονάδες 7)
Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου.
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^{2} + x - 6$ έχει διακρίνουσα $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25 > 0$ . Το άθροισμα των ριζών του είναι $S = \frac{- 1}{1} = - 1$ και το γινόμενό τους είναι $P = \frac{- 6}{1} = - 6$ , οπότε οι ρίζες είναι $x_{1} = - 3$ και $x_{2} = 2$ . Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Οπότε η ανίσωση $x^{2} + x - 6 < 0$ αληθεύει για $x \in (- 3, 2)$ .

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$| x - \frac{1}{2} | > 1$ $\Rightarrow {\begin{cases} x - \frac{1}{2} < - 1 \\ ή \\ x - \frac{1}{2} > 1 \end{cases}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x < - \frac{1}{2} \\ ή \\ x > \frac{3}{2} \end{cases}$

γ)

Ο αριθμός $α$ ικανοποιεί τη σχέση $| α - \frac{1}{2} | > 1$ , οπότε από το β) ερώτημα $α < - \frac{1}{2}$ (απορρίπτονται οι τιμές αυτές γιατί $α > 0$ , ως πλευρά) ή $α > \frac{3}{2} (1)$ .

Για το εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου ισχύει:

$Ε < 6$ $\Leftrightarrow α \cdot (α + 1) < 6$ $\Leftrightarrow α^{2} + α - 6 < 0$

Από το α) ερώτημα και επειδή $α > 0$ , η ανίσωση αληθεύει για $α \in (0, 2) (2)$ .

Από τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ προκύπτει $\frac{3}{2} < α < 2$ .
Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι $Π = 2 α + 2 (α + 1) = 4 α + 2$ .
Έχουμε:

$\frac{3}{2} < α < 2$ $\overset{(\cdot 4)}{\Leftrightarrow} 6 < 4 α < 8$ $\overset{(+ 2)}{\Leftrightarrow} 8 < Π < 10$

Άρα η περίμετρος του ορθογωνίου κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών $8$ και $10$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).