Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33893	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33893
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $x$ για τους οποίους ισχύει $| x - 4 | < 2$ .
(Μονάδες 7)

β) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό $x$ του οποίου η απόσταση από το $4$ πάνω στο άξονα των πραγματικών είναι μικρότερη από $2$ .

Να δείξετε ότι $3 x - 4 > 0$ .
(Μονάδες 5)
Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού $x$ από το $4$ είναι μεγαλύτερη του $2$ και μικρότερη του $14$ .
(Μονάδες 5)
Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της απόστασης του $3 x$ από το $19$ .
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$| x - 4 | < 2$ $\Rightarrow - 2 < x - 4 < 2$ $\Rightarrow 4 - 2 < x < 2 + 4$ $\Rightarrow 2 < x < 6$

Άρα $x \in (2, 6)$ .

β) Πάνω στο άξονα των πραγματικών αριθμών η απόσταση του $x$ από το $4$ είναι μικρότερη από $2$ , δηλαδή:

Άρα $2 < x < 6$ .

Έχουμε:

$2 < x < 6$ $\Rightarrow 2 \cdot 3 < 3 x < 6 \cdot 3$ $\Rightarrow 6 < 3 x < 18$ $\Rightarrow 6 - 4 < 3 x - 4 < 18 - 4$ $\Rightarrow 2 < 3 x - 4 < 14$

και συνεπώς $3 x - 4 > 0$ .
Θα δείξουμε ότι $2 < d (3 x, 4) < 14$ .

Ισχύει ότι $d (3 x, 4) = | 3 x - 4 | \overset{(i)}{=} 3 x - 4$ . Από το βi) ερώτημα $2 < 3 x - 4 < 14$ , οπότε $2 < d (3 x, 4) < 14$ .
Η απόσταση του $3 x$ από το $19$ συμβολίζεται $d (3 x, 19) = | 3 x - 19 |$ .
Από το βi) ερώτημα έχουμε $2 < 3 x - 4 < 14$ οπότε αφαιρούμε από τα μέλη της ανίσωσης $15$ και έχουμε: $- 13 < 3 x - 19 < - 1$ , δηλαδή $3 x - 19 < 0$ . Οπότε $d (3 x, 19) = | 3 x - 19 | = - 3 x + 19$ .
Έχουμε $- 13 < 3 x - 19 < - 1$ , δηλαδή $13 > - 3 x + 19 > 1$ οπότε $1 < d (3 x, 19) < 13$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).