Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33894	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33894
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{| 2 - x |}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$ .
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι $f (x) = {\begin{cases} x - 3, & x > 2 \\ - x + 3, & x < 2 \end{cases}$ .
(Μονάδες 7)

γ)
i. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της $f$ .
(Μονάδες 4)

ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x^{'} x$ και $y^{'} y$ .
(Μονάδες 4)

δ) Να λύσετε την ανίσωση $f (x) \leq 0$ .
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

α) Πρέπει $| 2 - x | \neq 0 \Leftrightarrow 2 - x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$ .
Άρα $Α_{f} = (- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ .

β) Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ έχει άθροισμα ριζών

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{- β}{α} = 5$

και γινόμενο ριζών

$P = x_{1} x_{2} = \frac{γ}{α} = 6$

άρα οι ρίζες του είναι: $x_{1} = 2 x_{2} = 3$ .
Οπότε $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$ .

Έχουμε:

$\begin{aligned} f (x) & = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{| 2 - x |} \\ = \frac{(x - 2) (x - 3)}{| 2 - x |} \\ = {\begin{cases} \frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 2)} = x - 3, & x > 2 \\ \frac{(x - 2) (x - 3)}{(2 - x)} = - x + 3, & x < 2 \end{cases} \end{aligned}$

γ)
i. Για $x > 2$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι ευθεία με εξίσωση $y = x - 3$ . Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα $(3, 0)$ και $(4, 1)$ . Για $x < 2$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι ευθεία με εξίσωση $y = - x + 3$ . Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα $(1, 2)$ και $(0, 3)$ . Άρα η γραφική παράσταση της $f$ είναι:

ii. Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον $x^{'} x$ άξονα στο σημείο $(3, 0)$ και τον $y^{'} y$ άξονα στο $(0, 3)$ .

δ) Από το γi. ερώτημα, παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από τον άξονα $x^{'} x$ για $x \in (2, 3)$ και τέμνει τον $x^{'} x$ στο $(3, 0)$ (δηλαδή $f (3) = 0$ ). Άρα η ανίσωση $f (x) \leq 0$ αληθεύει για $x \in (2, 3]$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).