Τράπεζα Θεμάτων

α) Πρέπει \(|2-x|\ne 0 \Leftrightarrow 2-x\ne 0 \Leftrightarrow x\ne 2\).
Άρα \(Α_{f}=(-\infty ,2)\cup (2,+\infty)\).

β) Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει άθροισμα ριζών

$$S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{-β}{α}=5$$

και γινόμενο ριζών

$$P=x_{1}x_{2}=\dfrac{γ}{α}=6$$

άρα οι ρίζες του είναι: \(x_{1}=2\ x_{2}=3\).
Οπότε \(x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)\).

Έχουμε:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{x^{2}-5x+6}{|2-x|}\\ & =\dfrac{(x-2)(x-3)}{|2-x|} \\ & =\begin{cases} \dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)}=x-3\ \text{,}\ &x>2 \\ \dfrac{(x-2)(x-3)}{(2-x)} =-x+3\ \text{,}\ &x\lt 2 \end{cases}\end{align}$$

γ)
i. Για \(x>2\) η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία με εξίσωση \(y=x-3\). Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα \((3,0)\) και \((4,1)\). Για \(x\lt 2\) η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία με εξίσωση \(y=-x+3\). Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα \((1,2)\) και \((0,3)\). Άρα η γραφική παράσταση της \(f\) είναι:

ii. Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον \(x'x\) άξονα στο σημείο \((3,0)\) και τον \(y'y\) άξονα στο \((0,3)\).

δ) Από το γi. ερώτημα, παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της \(f\) είναι κάτω από τον άξονα \(x'x\) για \(x\in (2,3)\) και τέμνει τον \(x'x\) στο \((3,0)\) (δηλαδή \(f(3)=0\)). Άρα η ανίσωση \(f(x)\le 0\) αληθεύει για \(x\in (2,3]\).