Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33895	Ύλη:	6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33895
Ύλη:	6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = \frac{4 x^{2} - 2 (α + 3) x + 3 α}{2 x - 3}$ , με παράμετρο $α \in R$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$ .
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι $f (x) = 2 x - α$ , για κάθε $x$ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f$ .
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την τιμή του $α \in R$ , αν η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $(1, - 1)$ .
(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x^{'} x$ και $y^{'} y$ .
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

α) Πρέπει $2 x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq 3 \Leftrightarrow x \neq \frac{3}{2}$ .

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι $Α_{f} = (- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ .

β) Παραγοντοποιούμετο τριώνυμο στον αριθμητή του τύπου της συνάρτησης $f$ . Έχουμε:

$\begin{aligned} 4 x^{2} - 2 (α + 3) x + 3 α & = 4 x^{2} - 2 α x - 6 x + 3 α \\ = 2 x (2 x - α) - 3 (2 x - α) \\ = (2 x - α) (2 x - 3) \end{aligned}$

Άρα:

$\begin{aligned} f (x) & = \frac{4 x^{2} - 2 (α + 3) x + 3 α}{2 x - 3} \\ = \frac{(2 x - α) (2 x - 3)}{2 x - 3} \\ = 2 x - α, για κάθε x \neq \frac{3}{2} \end{aligned}$

γ) Η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $(1, - 1)$ , δηλαδή $f (1) = - 1$ ,οπότε $2 \cdot 1 - α = - 1$ και τελικά $α = 3$ .

δ) Η γραφική παράσταση της $f (x) = 2 x - α$ είναι ευθεία, εκτός του σημείου με τετμημένη $\frac{3}{2}$ , δηλαδή του σημείου $(\frac{3}{2}, 3 - α)$ .

Αν $α = 3$ , η ευθεία δεν έχει σημείο τομής με τον $x^{'} x$ άξονα (το σημείο $(\frac{3}{2}, 0)$ δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της $f$ ). Τέμνει τον $y^{'} y$ άξονα στο $(0, - 3)$ , γιατί $f (0) = 2 \cdot 0 - α = - α = - 3$ .

Αν $α \neq 3$ :
Για $y = 0$ έχουμε $0 = 2 x - α \Leftrightarrow x = \frac{α}{2}$ και η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον $x^{'} x$ άξονα στο σημείο $Α (\frac{α}{2}, 0)$ .

Για $x = 0$ , έχουμε $y = 2 \cdot 0 - α = - α$ και η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον τον $y^{'} y$ άξονα στο $Β (0, - α)$ .

Ειδικά στην περίπτωση που $α = 0$ , τα παραπάνω σημεία $Α$ και $Β$ έχουν συντεταγμένες $(0, 0)$ , οπότε η γραφική παράσταση της $f$ είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).