Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34150	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34150
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί $α$, $β$, τέτοιοι ώστε:

$$α+ β=12$$

και

$$α^{2}+β^{2}=272$$

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας $(α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}$, να δείξετε ότι:

$$α\cdot β=-64$$

(Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς $α$, $β$.
(Μονάδες 10)

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $α$, $β$.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$(α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}$$ $$\Leftrightarrow 12^2 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow αβ = – 64$$

β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $α$, $β$ είναι η $x^2 – Sx + P = 0$, όπου $S = α + β = 12$ και $Ρ = αβ= – 64$.

Άρα μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $α$, $β$ είναι η:

$$x^2 – 12x – 64 = 0$$

γ) Το τριώνυμο $x^2-12x-64$ έχει διακρίνουσα:

$$Δ = (– 12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (– 64)$$ $$= 144 + 256 = 400 > 0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^2-12x-64=0$ είναι:

\begin{align} α,β &= \dfrac{-(-12)\pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} \\ & =\dfrac{12\pm 20}{2} \\ & =\begin{cases} \dfrac{12+20}{2}=16 \\ \dfrac{12-20}{2}=-4 \end{cases}\end{align}

Άρα $α = 16$, $β = -4$ ή $α = -4$, $β = 16$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).