Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34150	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34150
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί $α$ , $β$ , τέτοιοι ώστε:

$α + β = 12$

και

$α^{2} + β^{2} = 272$

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας $(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$ , να δείξετε ότι:

$α \cdot β = - 64$

(Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς $α$ , $β$ .
(Μονάδες 10)

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $α$ , $β$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$ $\Leftrightarrow 12^{2} = 272 + 2 α β$ $\Leftrightarrow 144 = 272 + 2 α β$ $\Leftrightarrow α β = - 64$

β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $α$ , $β$ είναι η $x^{2} - S x + P = 0$ , όπου $S = α + β = 12$ και $Ρ = α β = - 64$ .

Άρα μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $α$ , $β$ είναι η:

$x^{2} - 12 x - 64 = 0$

γ) Το τριώνυμο $x^{2} - 12 x - 64$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 64)$ $= 144 + 256 = 400 > 0$

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^{2} - 12 x - 64 = 0$ είναι:

$\begin{aligned} α, β & = \frac{- (- 12) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{12 \pm 20}{2} \\ = {\begin{cases} \frac{12 + 20}{2} = 16 \\ \frac{12 - 20}{2} = - 4 \end{cases} \end{aligned}$

Άρα $α = 16$ , $β = - 4$ ή $α = - 4$ , $β = 16$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).