Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34154 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34154 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι αριθμοί:
$$Α=\dfrac{1}{3-\sqrt{7}} \text{ και }Β=\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}$$
α) Να δείξετε ότι:
$$A+B=3 \text{ και } A\cdot B=\dfrac{1}{2}$$
(Μονάδες 12)
β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \(Α,\ Β\).
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
α) Είναι:
$$\begin{align} A+B & =\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}\\ & =\dfrac{3+\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}+\dfrac{3-\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{3-\sqrt{7}+3+\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{6}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}\\ &=\dfrac{6}{9-7}\\ &=\dfrac{6}{2} \\ &=3 \end{align}
Ισχύει ότι:
\begin{align} A\cdot B & =\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}\cdot \dfrac{1}{3+\sqrt{7}}\\ &=\dfrac{1}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{1}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}\\ &=\dfrac{1}{9-7}\\ &=\dfrac{1}{2} \end{align}
β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:
$$x^{2}-Sx+P=0$$
με
$$S=A+B=3 \text{ και }P=Α\cdot B=\dfrac{1}{2}$$
Τελικά μια ζητούμενη εξίσωση είναι η:
$$x^{2}-3x+\dfrac{1}{2}=0$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).