Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34154	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34154
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί:

$Α = \frac{1}{3 - \sqrt{7}} και Β = \frac{1}{3 + \sqrt{7}}$

α) Να δείξετε ότι:

$A + B = 3 και A \cdot B = \frac{1}{2}$

(Μονάδες 12)

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς $Α, Β$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

α) Είναι:

$$ $\begin{aligned} A + B & = \frac{1}{3 - \sqrt{7}} + \frac{1}{3 + \sqrt{7}} \\ = \frac{3 + \sqrt{7}}{(3 + \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})} + \frac{3 - \sqrt{7}}{(3 + \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})} \\ = \frac{3 - \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7}}{(3 + \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})} \\ = \frac{6}{3^{2} - (\sqrt{7})^{2}} \\ = \frac{6}{9 - 7} \\ = \frac{6}{2} \\ = 3 \end{aligned}$

Ισχύει ότι:

$\begin{aligned} A \cdot B & = \frac{1}{3 - \sqrt{7}} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{7}} \\ = \frac{1}{(3 + \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})} \\ = \frac{1}{3^{2} - (\sqrt{7})^{2}} \\ = \frac{1}{9 - 7} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$x^{2} - S x + P = 0$

με

$S = A + B = 3 και P = Α \cdot B = \frac{1}{2}$

Τελικά μια ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} = 0$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).