Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34156	Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34156
Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος $(α_{ν})$ , για την οποία ισχύει $\frac{α_{5}}{α_{2}} = 27$ .

α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι $λ = 3.$
(Μονάδες 10)

β) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι $200$ , να βρείτε τον πρώτο όρο $α_{1}$ .
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

α) Είναι:

$\begin{aligned} \frac{α_{5}}{α_{2}} = 27 \\ \Leftrightarrow & \frac{α_{1} λ^{5 - 1}}{α_{1} λ^{2 - 1}} = 27 \\ \Leftrightarrow & \frac{λ^{4}}{λ} = 27 \\ \Leftrightarrow & λ^{3} = 27 \\ \Leftrightarrow & λ^{3} = 3^{3} \\ \Leftrightarrow & λ = 3 \end{aligned}$

β) Ισχύει ότι:

$\begin{aligned} S_{4} = 200 \\ \Leftrightarrow & α_{1} \frac{λ^{4} - 1}{λ - 1} = 200 \\ \Leftrightarrow & α_{1} \frac{3^{4} - 1}{3 - 1} = 200 \\ \Leftrightarrow & α_{1} \frac{81 - 1}{2} = 200 \\ \Leftrightarrow & 40 α_{1} = 200 \\ \Leftrightarrow & α_{1} = 5 \end{aligned}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).