Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34158 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34158 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Σε αριθμητική πρόοδο \((α_ν)\) είναι \(α_{1}=2\) και \(α_{5}=14\).
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \(ω\) της προόδου είναι ίση με \(3\).
(Μονάδες 12)
β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου \((α_ν)\) πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με \(77.\)
(Δίνεται: \(\sqrt{1849}=43\) ).
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
α) Είναι:
$$α_{5}=14$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(5–1)ω=14$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+4ω=14$$ $$\Leftrightarrow 4ω=12$$ $$\Leftrightarrow ω=3$$
**β)$ Έχουμε:
$$S_{ν}=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2α_{1}+(ν-1)ω]=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2\cdot 2+(ν-1)3]=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(4+3ν-3)=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(3ν+1)=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3ν^{2}+ν}{2}=77$$ $$\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν=154$$ $$\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν-154=0,\ (1)$$
Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:
$$Δ = β^2 – 4αγ = 12 – 4 3 (– 154) = 1 + 1848 = 1849 > 0.$$
Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:
\begin{align} ν_{\text{1,2}} & = \dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ &=\dfrac{-1\pm \sqrt{1849}}{23}\\ &=\dfrac{-1\pm 43}{6}\\ & =\begin{cases} \dfrac{-1+43}{6}=7 \\ \dfrac{-1-43}{6}=-\dfrac{44}{6} \end{cases} \end{align}
Η τιμή \(ν = – \dfrac{44}{6}\) απορρίπτεται, καθώς \(ν\in \mathbb{Ν}\). Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους \(7\) πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με \(77.\)
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).