Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34158	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34158
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Σε αριθμητική πρόοδο $(α_{ν})$ είναι $α_{1} = 2$ και $α_{5} = 14$ .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά $ω$ της προόδου είναι ίση με $3$ .
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου $(α_{ν})$ πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με $77.$

(Δίνεται: $\sqrt{1849} = 43$ ).
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

α) Είναι:

$α_{5} = 14$ $\Leftrightarrow α_{1} + (5 - 1) ω = 14$ $\Leftrightarrow α_{1} + 4 ω = 14$ $\Leftrightarrow 4 ω = 12$ $\Leftrightarrow ω = 3$

**β)$ Έχουμε:

$S_{ν} = 77$ $\Leftrightarrow \frac{v}{2} [2 α_{1} + (ν - 1) ω] = 77$ $\Leftrightarrow \frac{v}{2} [2 \cdot 2 + (ν - 1) 3] = 77$ $\Leftrightarrow \frac{v}{2} (4 + 3 ν - 3) = 77$ $\Leftrightarrow \frac{v}{2} (3 ν + 1) = 77$ $\Leftrightarrow \frac{3 ν^{2} + ν}{2} = 77$ $\Leftrightarrow 3 ν^{2} + ν = 154$ $\Leftrightarrow 3 ν^{2} + ν - 154 = 0, (1)$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ = 12 - 43 (- 154) = 1 + 1848 = 1849 > 0.$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$\begin{aligned} ν_{1,2} & = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1849}}{23} \\ = \frac{- 1 \pm 43}{6} \\ = {\begin{cases} \frac{- 1 + 43}{6} = 7 \\ \frac{- 1 - 43}{6} = - \frac{44}{6} \end{cases} \end{aligned}$

Η τιμή $ν = - \frac{44}{6}$ απορρίπτεται, καθώς $ν \in Ν$ . Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους $7$ πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με $77.$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).