Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34159	Ύλη:	6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34159
Ύλη:	6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με

$f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
(Μονάδες 7)

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης $f$ .
(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x^{'} x$ και $y^{'} y$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

α) Η συνάρτηση ορίζεται για $x \in R$ με:

$x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$

Άρα, το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το $Α = R - 3 .$

β) Θα παραγοντοποιήσουμε το $x^{2} - 5 x + 6.$
Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ έχει $α = 1, β = - 5, γ = 6$ και διακρίνουσα:
$Δ = β^{2} - 4 α γ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α} \\ = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{21} \\ = \frac{5 \pm 1}{2} \\ = {\begin{cases} \frac{5 + 1}{2} = 3 \\ \frac{5 - 1}{2} = 2 \end{cases} \end{aligned}$

Τότε:

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

Για $x \neq 3$ ο τύπος της $f$ γράφεται:

$f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = \frac{(x - 2) (x - 3)}{x - 3} = x - 2.$

γ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $x^{'} x$ λύνουμε την εξίσωση:

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Άρα η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $x^{'} x$ στo σημείo $Α (2, 0) .$
Επίσης έχουμε: $f (0) = 0 - 2 = - 2$
Άρα η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $y^{'} y$ στο σημείο $B (0, - 2) .$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).