Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34159 | Ύλη: | 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34159 |
| Ύλη: | 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση \(f\) με
$$f(x)=\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}$$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\).
(Μονάδες 7)
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης \(f\).
(Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
α) Η συνάρτηση ορίζεται για \(x\in \mathbb{R}\) με:
$$x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$$
Άρα, το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \(Α = \mathbb{R}-{3}.\)
β) Θα παραγοντοποιήσουμε το \(x^2 – 5x + 6.\)
Το τριώνυμο \(x^2 – 5x + 6\) έχει \(α = 1,\ β = – 5,\ γ = 6\) και διακρίνουσα:
\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 5)^2 – 4\cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 > 0\)
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
\begin{align} x_{1,2} & = \dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{21}\\ &=\dfrac{5\pm 1}{2}\\ &=\begin{cases} \dfrac{5+1}{2}=3 \\ \dfrac{5-1}{2}=2 \end{cases} \end{align}
Τότε:
$$x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)$$
Για \(x\ne 3\) ο τύπος της \(f\) γράφεται:
$$f(x) = \dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x – 2.$$
γ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της \(C_f\) με τον άξονα \(x'x\) λύνουμε την εξίσωση:
$$f(x) = 0 \Leftrightarrow x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$$
Άρα η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στo σημείo \(Α(2, 0).\)
Επίσης έχουμε: \(f(0) = 0 – 2 = – 2\)
Άρα η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(B(0, – 2).\)
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).