Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34180	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34180
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι αριθμοί $2$ , $x$ , $8$ , $x \in R$ .

α) Να βρείτε την τιμή του $x$ , ώστε οι αριθμοί $2$ , $x$ , $8$ , με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά $ω$ αυτής της προόδου;
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τον αριθμό $x$ , ώστε οι $2$ , $x$ , $8$ , με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος $λ$ αυτής της προόδου;
(Μονάδες 7)

γ) Αν $(α_{ν})$ είναι η αριθμητική πρόοδος $2, 5, 8, 11, . . .$ και $(β_{ν})$ η γεωμετρική πρόοδος $2, 4, 8, 16, . . .$ τότε να βρείτε:

Το άθροισμα $S_{ν}$ των $ν$ πρώτων όρων της $(α_{ν})$ .
(Μονάδες 5)
Την τιμή του $ν$ , ώστε για το άθροισμα $S_{ν}$ του γi) ερωτήματος να ισχύει:

$2 \cdot (S_{ν} + 24) = β_{7}$

(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Oι αριθμοί $2$ , $x$ , $8$ , με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν $2 x = 8 + 2$ , δηλαδή $2 x = 10$ και τελικά $x = 5$ . H διαφορά $ω$ της προόδου είναι $ω = 5 - 2 = 3$ .

β) Οι αριθμοί $2$ , $x$ , $8$ , με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν $x^{2} = 2 \cdot 8$ , δηλαδή $x^{2} = 16$ και τελικά $x = \pm 4$ .

Για $x = - 4$ , ο λόγος της προόδου είναι $λ = \frac{- 4}{2} = - 2$ , ενώ για $x = 4$ ο λόγος της προόδου είναι $λ = \frac{4}{2} = 2$ .

γ) Αν $(α_{ν})$ είναι η αριθμητική πρόοδος $2, 5, 8, 11, . . .$ και $(β_{ν})$ η γεωμετρική πρόοδος $2, 4, 8, 16, . . .$ τότε:

Το άθροισμα $S_{ν}$ των $ν$ πρώτων όρων της $(α_{ν})$ με $α_{1} = 2$ και $ω = 3$ , είναι:

$S_{ν} = \frac{ν}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (ν - 1) \cdot 3)$ $= \frac{ν}{2} \cdot (1 + 3 ν)$ $= \frac{ν + 3 ν^{2}}{2}$

Ο 7ος όρος της γεωμετρικής προόδου $(β_{ν})$ με 1ο όρο $β_{1} = 2$ και λόγο $λ = 2$ είναι:

$β_{7} = 2 \cdot 2^{1} = 2 \cdot 2^{6} = 2^{7} = 128$

Έχουμε ισοδύναμα:

$2 \cdot (S_{ν} + 24) = β_{7}$

Δηλαδή:

$2 \cdot (\frac{ν + 3 ν^{2}}{2} + 24) = 128$

Oπότε:

$3 ν^{2} + ν - 80 = 0$

Το τριώνυμο $3 ν^{2} + ν - 80$ έχει διακρίνουσα $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 80) = 961 > 0$ , οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

$ν_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{- 1 - 31}{6} = - \frac{16}{3}$ , που απορρίπτεται γιατί $ν \in N$ .

$ν_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{- 1 + 31}{6} = 5$ .

Τελικά $ν = 5$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).