Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34180	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34180
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι αριθμοί $2$, $x$ ,$8$, $x\in \mathbb{R}$.

α) Να βρείτε την τιμή του $x$, ώστε οι αριθμοί $2$, $x$, $8$, με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά $ω$ αυτής της προόδου;
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τον αριθμό $x$, ώστε οι $2$, $x$ ,$8$, με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος $λ$ αυτής της προόδου;
(Μονάδες 7)

γ) Αν $(α_{ν})$ είναι η αριθμητική πρόοδος $2,5,8,11,...$ και $(β_{ν})$ η γεωμετρική πρόοδος $2,4,8,16,...$ τότε να βρείτε:

Το άθροισμα $S_ν$ των $ν$ πρώτων όρων της $(α_{ν})$.
(Μονάδες 5)
Την τιμή του $ν$, ώστε για το άθροισμα $S_ν$ του γi) ερωτήματος να ισχύει:

$$2\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$

(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Oι αριθμοί $2$, $x$, $8$, με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν $2x=8+2$, δηλαδή $2x=10$ και τελικά $x=5$. H διαφορά $ω$ της προόδου είναι $ω=5-2=3$.

β) Οι αριθμοί $2$, $x$, $8$, με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν $x^{2}=2\cdot 8$, δηλαδή $x^{2}=16$ και τελικά $x=\pm 4$.

Για $x=-4$, ο λόγος της προόδου είναι $λ=\dfrac{-4}{2}=-2$, ενώ για $x=4$ ο λόγος της προόδου είναι $λ=\dfrac{4}{2}=2$.

γ) Αν $(α_{ν})$ είναι η αριθμητική πρόοδος $2,5,8,11,...$ και $(β_{ν})$ η γεωμετρική πρόοδος $2,4,8,16,...$ τότε:

Το άθροισμα $S_ν$ των $ν$ πρώτων όρων της $(α_{ν})$ με $α_{1}=2$ και $ω=3$, είναι:

$$S_{ν}=\dfrac{ν}{2}\cdot (2\cdot 2+(ν-1)\cdot 3)$$ $$=\dfrac{ν}{2}\cdot (1+3ν)$$ $$=\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}$$

Ο 7ος όρος της γεωμετρικής προόδου $(β_{ν})$ με 1ο όρο $β_{1}=2$ και λόγο $λ=2$ είναι:

$$β_{7}=2\cdot 2^{1}=2\cdot 2^{6}=2^{7}=128$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$2\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$

Δηλαδή:

$$2\cdot \left(\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}+24\right)=128$$

Oπότε:

$$3ν^{2}+ν-80=0$$

Το τριώνυμο $3ν^{2}+ν-80$ έχει διακρίνουσα $Δ=1^{2}-4\cdot 3\cdot (-80)=961>0$, οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

$ν_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{961}}{2\cdot 3}=\dfrac{-1-31}{6}=-\dfrac{16}{3}$, που απορρίπτεται γιατί $ν\in N$.

$ν_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{961}}{2\cdot 3}=\dfrac{-1+31}{6}=5$.

Τελικά $ν=5$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).