Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34181	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34181
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται ορθογώνιο μήκους $α$ , πλάτους $β$ και εμβαδού $Ε$ . Οι αριθμοί $α$ , $Ε$ , $β$ , με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

α) Να υπολογίσετε την τιμή του εμβαδού $Ε$ .
(Μονάδες 10)

β) Αν $Ε = 1$ και $α + β = 10$ ,

να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες $α$ και $β$ .
(Μονάδες 5)
να βρείτε τις διαστάσεις $α$ και $β$ του ορθογωνίου.
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις $α$ και $β$ είναι:

$Ε = α \cdot β (1)$

Οι αριθμοί $α$ , $Ε$ , $β$ , με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν $Ε^{2} = α \cdot β$ , οπότε λόγω $(1)$ :

$Ε^{2} = Ε$

Δηλαδή:

$Ε^{2} - Ε = 0$

Οπότε:

$Ε (Ε - 1) = 0$

Και επειδή $Ε \neq 0$ :

$Ε = 1$

β)

Το άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι $S = α + β = 10$ και το γινόμενο των ριζών είναι $P = α β = Ε = 1$ . Άρα μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες $α$ και $β$ είναι η:

$x^{2} - S x + P = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 10 x + 1$ έχει διακρίνουσα $Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 96 > 0$ , οπότε η εξίσωση $x^{2} - 10 x + 1 = 0$ έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τις:

$x_{1} = \frac{- (- 10) - \sqrt{96}}{2}$ $= \frac{10 - \sqrt{16 \cdot 6}}{2}$ $= \frac{10 - 4 \sqrt{6}}{2}$ $= 5 - 2 \sqrt{6} > 0$

$x_{2} = \frac{- (- 10) + \sqrt{96}}{2}$ $= \frac{10 + \sqrt{16 \cdot 6}}{2}$ $= \frac{10 + 4 \sqrt{6}}{2}$ $= 5 + 2 \sqrt{6} > 0$

Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $α = 5 - 2 \sqrt{6}$ και $β = 5 + 2 \sqrt{6}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).