Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34182	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34182
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο $ΑΒΓΔ$ πλευράς $ΑΒ=3\ cm$ και τυχαίο σημείο $Μ$ που κινείται στη διαγώνιο $ΒΔ$ εσωτερικά (δηλαδή το $Μ$ δεν θα ταυτιστεί με τα άκρα της διαγωνίου).

α) Να εκφράσετε το συνολικό εμβαδόν $Ε$ των σκιασμένων τετραγώνων $ΗΒΖΜ$ και $ΘΜΕΔ$ ως συνάρτηση του $x$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $Ε(x)$.
(Μονάδες 9)

β) Αν το εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων είναι $Ε(x)=2x^{2}-6x+9$, να αποδείξετε ότι $Ε(x)\ge \dfrac{9}{2}$, για κάθε $x\in (0,3)$.
(Μονάδες 7)

γ) Για ποια θέση του $Μ$ πάνω στη $ΒΔ$ το εμβαδόν $Ε(x)$ γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με $\dfrac{9}{2}$; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τετράγωνο $ΘΜΕΔ$ έχει πλευρά $x>0\ \ \ \ (1)$.
Το εμβαδόν του $Ε_{1}=x^{2}$.
Το τετράγωνο $ΗΒΖΜ$ έχει πλευρά $(3-x)>0 \Leftrightarrow x<3\ \ \ \ (2)$.
Το εμβαδόν του είναι $Ε_{2}=(3-x)^{2}$.
Άρα το συνολικό εμβαδόν $Ε$ ως συνάρτηση του $x$ είναι:

$$Ε(x)=Ε_{1}+Ε_{2}$$ $$=x^{2}+(3-x)^{2}$$ $$=2x^{2}-6x+9$$

Από $(1)$ και $(2)$, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $Ε(x)$ είναι $Α=(0,3)$.

β) Έχουμε:

$$Ε(x)\ge \dfrac{9}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-6x+9\ge \dfrac{9}{2} $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}-12x+9\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x-3)^{2}\ge 0$$

, που ισχύει για κάθε $x\in (0,3)$.

γ) ‘Έχουμε:

$$Ε(x)=\dfrac{9}{2}$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow} (2x-3)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 2x-3=0 $$ $$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$$

Το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο αν και μόνο αν $x=\dfrac{3}{2}$, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο $Ε$ είναι μέσο της $ΔΓ$. Στο $ΔΒΓ$ τρίγωνο έχουμε:
$Ε$ μέσο της $ΔΓ$ και $ΜΕ \parallel ΒΓ$, οπότε και $Μ$ θα είναι μέσο της $ΒΔ$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).