Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34184	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34184
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο $Α Β Γ$ ( $\hat{Α} = 90^{0}$ ) με κάθετες πλευρές $Α Β = x$ και $Α Γ = y$ , έτσι ώστε $x + y = 10$ .

α) Να εκφράσετε το εμβαδόν $Ε$ του τριγώνου $Α Β Γ$ ως συνάρτηση του $x$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $Ε (x)$ .
(Μονάδες 9)

β) Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι $Ε (x) = \frac{1}{2} (- x^{2} + 10 x)$ , να δείξετε ότι $Ε (x) \leq \frac{25}{2}$ , για κάθε $x \in (0, 10)$ .
(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την τιμή του $x \in (0, 10)$ ώστε το εμβαδόν $Ε (x)$ να γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με $\frac{25}{2}$ . Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο $Α Β Γ$ ;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι $x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - x$ . Εφόσον $x$ και $y$ είναι πλευρές τριγώνου, πρέπει:

${\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ 10 - x > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ x < 10 \end{cases}$ $\Leftrightarrow 0 < x < 10, δηλαδή x \in (0, 10)$

Οπότε το εμβαδόν του $Α Β Γ$ τριγώνου είναι:
$Ε = \frac{1}{2} \cdot Α Β \cdot Α Γ$ , δηλαδή:
$Ε (x) = \frac{1}{2} x (10 - x) = \frac{1}{2} (- x^{2} + 10 x)$ , με πεδίο ορισμού το διάστημα $(0, 10)$ .

β) Έχουμε:

$Ε (x) \leq \frac{25}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} (- x^{2} + 10 x) \leq \frac{25}{2}$ $\Leftrightarrow - x^{2} + 10 x - 25 \leq 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 10 x + 25 \geq 0$ $\Leftrightarrow (x - 5)^{2} \geq 0, που ισχύει για κάθε x \in (0, 10)$

γ) Το εμβαδόν $Ε (x)$ γίνεται μέγιστο αν και μόνο αν:

$Ε (x) = \frac{25}{2}$ $\overset{(β)}{\Leftrightarrow} (x - 5)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow x = 5$

Για $x = 5$ , είναι και $y = 10 - x = 10 - 5 = 5$ , οπότε $Α Β = Α Γ = 5$ και το τρίγωνο $Α Β Γ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).