Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34186	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34186
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

Οι πλευρές $x_{1}$ και $x_{2}$ ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης $x^{2} - 2 x + λ (2 - λ) = 0$ , με $λ \in (0, 2)$ .

α) Να βρείτε

την περίμετρο $Π$ του ορθογωνίου.
(Μονάδες 6)
το εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του $λ$ .
(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι $Ε \leq 1$ , για κάθε $λ \in (0, 2)$ .
(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε την τιμή του $λ \in (0, 2)$ για την οποία το εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με $1$ . Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση $x^{2} - 2 x + λ (2 - λ) = 0$ έχει ρίζες $x_{1}$ και $x_{2}$ με άθροισμα:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{- 2}{1} = 2$

και γινόμενο:

$P = x_{1} x_{2} = \frac{λ (2 - λ)}{1} = λ (2 - λ)$

H περίμετρος $Π$ του ορθογωνίου είναι:

$Π = 2 x_{1} + 2 x_{2}$ $= 2 (x_{1} + x_{2})$ $= 2 \cdot 2 = 4$
Tο εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του $λ$ είναι:

$Ε = x_{1} x_{2} = λ (2 - λ), λ \in (0, 2)$

β) Έχουμε:

$Ε \leq 1$ $\Leftrightarrow λ (2 - λ) \leq 1$ $\Leftrightarrow λ^{2} - 2 λ + 1 \geq 0$ $\Leftrightarrow (λ - 1)^{2} \geq 0$

που ισχύει για κάθε $λ \in (0, 2)$ .

γ) Το εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με $1$ , αν και μόνο αν:

$Ε = 1$ $\overset{(β)}{\Leftrightarrow} (λ - 1)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow λ = 1$

Για $λ = 1$ , η περίμετρος του ορθογωνίου είναι $4$ και το εμβαδόν του $1$ , οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς $x_{1} = x_{2} = 1$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).