Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34312 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34312 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 05-Μαρ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις \(C_{f}\) και \(C_{g}\) των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) αντίστοιχα, με:
$$f(x)=|x-2|$$
και
$$g(x)=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$$
με \(x\in \mathbb{R}\).
α) Με βάση το σχήμα, να εκτιμήσετε την τιμή των συντεταγμένων των σημείων τομής γραφικών παραστάσεων \(C_{f}\) και \(C_{g}\).
(Μονάδες 6)
β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτημα α).
(Μονάδες 8)
γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) η \(C_{f}\) βρίσκεται πάνω από τη \(C_{g}\).
(Μονάδες 6)
δ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος γ), να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς η παράσταση:
$$K=\sqrt{3|2-x|-(x+2)}$$
(Μονάδες 5)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Παρατηρώντας το σχήμα, διαπιστώνουμε ότι τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι κατ’ εκτίμηση τα \(Α(1,1)\) και \(Β(4,2)\).
β) Οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \(R\). Οι τετμημένες των σημείων τομής τους προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:
$$f(x)=g(x)$$
δηλαδή της:
$$|x-2|=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\ \ \ \ (1)$$
Για:
$$x-2\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\ge 2$$
είναι:
$$|x-2|=x-2$$
και η \((1)\) γράφεται:
$$x-2=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x-6=x+2 $$ $$\Leftrightarrow 3x-x=6+2 $$ $$\Leftrightarrow 2x=8 $$ $$\Leftrightarrow x=4>2\ \ \text{δεκτή}$$
Για \(x=4\) είναι:
$$f(4)=|4-2|=2$$
Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Β(4,2)\).
Για:
$$x-2<0 $$ $$\Leftrightarrow x<2$$
είναι:
$$|x-2|=2-x$$
και η \((1)\) γράφεται:
$$2-x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow 6-3x=x+2 $$ $$\Leftrightarrow -3x-x=2-6 $$ $$\Leftrightarrow -4x=-4 $$ $$\Leftrightarrow x=1 < 2 \ \ \text{δεκτή}$$
Για \(x=1\) είναι:
$$f(1)=|1-2|=|-1|=1$$
Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Α(1,1)\).
γ) Από το διάγραμμα που δίνεται διαπιστώνουμε ότι η \(C_{f}\) βρίσκεται πάνω από τη \(C_{g}\) αν και μόνο αν \(x\in (-\infty ,1)\cup (4,+\infty )\).
δ) Η παράσταση \(Κ\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:
$$3|2-x|-(x+2)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 3|2-x|\ge x+2 $$ $$\Leftrightarrow |x-2|\ge \dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow f(x)\ge g(x)$$
Επομένως αναζητούμε τα διαστήματα στα οποία \(f(x)>g(x)\), δηλαδή αυτά στα οποία η γραφική παράσταση της \(f\) είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της \(g\), καθώς και τα σημεία στα οποία \(f(x)=g(x)\), δηλαδή τις τετμημένες των σημείων τομής τους. Από τα ερωτήματα β) και γ) βρίσκουμε ότι:
$$f(x)\ge g(x) $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).