Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34313	Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34313
Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Απρ-2024

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται κύκλος ( $Ο$ , $R$ ) διαμέτρου $Α Β$ , και χορδή του $Α Γ$ τέτοια ώστε $\hat{Β Α Γ}$ = $30^{0}$ . Στο σημείο $Γ$ του κύκλου φέρουμε εφαπτομένη, η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου $Α Β$ (προς το $Β$ ) σε σημείο $Δ$ .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $Γ Ο Δ$ είναι ορθογώνιο και να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας του $\hat{Γ Ο Δ}$ .
(Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\hat{ω}$ .
(Μονάδες 8)

γ) Να αποδείξετε ότι $Ο Δ = 2 R$ .
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η εφαπτομένη στο σημείο $Γ$ του κύκλου, η $Γ Δ$ , είναι κάθετη στην ακτίνα $Ο Γ$ , άρα $\hat{O Γ Δ}$ = $90^{0}$ . Οπότε το τρίγωνο $Γ Ο Δ$ είναι ορθογώνιο.

Είναι $Ο Α = Ο Γ$ ως ακτίνες του κύκλου, άρα το τρίγωνο $Α Ο Γ$ είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά $Α Γ$ , οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του $Α Γ$ θα είναι ίσες, δηλαδή $\hat{O Γ Α}$ = $\hat{O Α Γ}$ = $30^{0}$ .

Στο τρίγωνο $Α Ο Γ$ η γωνία $\hat{Γ Ο Δ}$ είναι εξωτερική του, οπότε θα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του, δηλαδή $\hat{Γ Ο Δ} = \hat{O Γ Α} + \hat{O Α Γ} = 30^{0} + 30^{0} = 60^{0}$ .

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $Γ Ο Δ$ με ορθή τη γωνιά του $\hat{O Γ Δ}$ (από α) ερώτημα), οι οξείες γωνίες του $\hat{Γ Ο Δ}$ και $\hat{Γ Δ Ο}$ είναι συμπληρωματικές, δηλαδή ισχύει $\hat{Γ Ο Δ} + \hat{Γ Δ Ο} = 90^{0}$ . Επειδή είναι $\hat{Γ Ο Δ} = 60^{0}$ , άρα $\hat{Γ Δ Ο} = 90^{0} - 60^{0}$ ή $\hat{Γ Δ Ο} = 30^{0}$ .

γ) Το τρίγωνο $Γ Ο Δ$ είναι ορθογώνιο (από α) ερώτημα) και η γωνία του $\hat{Γ Δ Ο}$ είναι ίση με $30^{0}$ (από το β) ερώτημα), οπότε η απέναντι της πλευρά, δηλαδή η $Ο Γ$ θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσάς του $Ο Δ$ , δηλαδή θα ισχύει $Ο Γ = \frac{Ο Δ}{2}$ ή $Ο Δ = 2 Ο Γ = 2 R$ , αφού η $Ο Γ$ είναι ακτίνα του κύκλου.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).