Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34315	Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34315
Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Απρ-2024

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται κύκλος κέντρου $Ο$ και ακτίνας $4 c m$ και εξωτερικό του σημείο $Ρ$ . Έστω $Ρ Α$ , $Ρ Β$ τα εφαπτόμενα τμήματα που φέρονται από το $Ρ$ , τα σημεία επαφής τους $A$ , $B$ με τον κύκλο αντίστοιχα και τέτοια ώστε η γωνία $\hat{Α Ρ Β}$ να ισούται με $60^{0}$ .

α) Να αποδείξετε ότι το μέτρο της γωνίας $\hat{Α Ο Β}$ είναι ίσο με $120^{0}$ .
(Μονάδες 7)

β) Αν $Ρ Ο$ η διακεντρική ευθεία του σημείου $Ρ$ , τότε να υπολογίσετε:

το μέτρο της γωνίας $\hat{Α Ρ Ο}$ ,
(Μονάδες 9)
το μήκος του τμήματος $Ο Ρ$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Τα σημεία $Α$ και $Β$ είναι σημεία επαφής των εφαπτόμενων τμημάτων $Ρ Α$ και $Ρ Β$ με τον κύκλο αντίστοιχα και $Ο Α$ , $Ο Β$ ακτίνες του κύκλου που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής.

Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα από σημείο εκτός κύκλου είναι κάθετα στις ακτίνες που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής, οπότε θα είναι $\hat{Ο Α Ρ} = 90^{0}$ και $\hat{Ο Β Ρ} = 90^{0}$ .

Για τις γωνίες του τετράπλευρου $Ρ Α Ο Β$ ισχύει ότι:
$\hat{Α Ρ Β} + \hat{Ο Β Ρ} + \hat{Α Ο Β} + \hat{Ο Α Ρ} = 360^{0}$ ή $60^{0} + 90^{0} + \hat{Α Ο Β} + 90^{0} = 360^{0}$
ή $\hat{Α Ο Β} = 360^{0} - 240^{0}$ ή $\hat{Α Ο Β} = 120^{0}$

β) Φέρνουμε την διακεντρική ευθεία $Ρ Ο$ .

Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική ευθεία $Ρ Ο$ διχοτομεί τη γωνία $\hat{Α Ρ Β}$ των εφαπτόμενων τμημάτων $Ρ Α$ και $Ρ Β$ , άρα $\hat{Α Ρ Ο} = \frac{Α \hat{Ρ} Β}{2} = \frac{60^{0}}{2} = 30^{0}$ .
Από το α) ερώτημα έχουμε ότι $\hat{Ο Α Ρ} = 90^{0}$ , οπότε το τρίγωνο $Ο Α Ρ$ είναι ορθογώνιο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $Ο Α Ρ$ η γωνία $\hat{Α Ρ Ο}$ , λόγω του βi) ερωτήματος, ισούται με $30^{0}$ , οπότε η απέναντι κάθετη πλευρά $Α Ο$ ισούται με το μισό της υποτείνουσας $Ρ Ο$ , δηλαδή $Ο Α = \frac{Ο Ρ}{2}$ ή $Ο Ρ = 2 \cdot Ο Α = 2 \cdot 4 = 8 c m$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).