Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34317 | Ύλη: | 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34317 |
| Ύλη: | 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 05-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Το ποσό που θα πληρώσει (σε ευρώ) ένας κάτοικος μιας πόλης \(Α\) ο οποίος καταναλώνει \(x\) κυβικά μέτρα νερού σε ένα χρόνο, δίνεται από τη συνάρτηση:
$$f(x)=\begin{cases} 0,5x+12, &\text{αν}\ 0\le x\le 30 \\ 0,7x+6, &\text{αν}\ x>30 \end{cases}$$
α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει κάποιος αν:
έλλειπε από το σπίτι του και δεν έχει καταναλώσει καθόλου νερό,
(Μονάδες 2)έχει καταναλώσει \(10\) κυβικά μέτρα νερού,
(Μονάδες 3)έχει καταναλώσει \(50\) κυβικά μέτρα νερού.
(Μονάδες 5)
β) Σε μια άλλη πόλη \(Β\), το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση \(x\) κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο:
$$g(x)=12+0,6x,\ \text{για}\ x\ge 0$$
Ένας κάτοικος της πόλης \(Α\) και ένας κάτοικος της πόλης \(Β\) κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά μέτρα νερού. Αν ο κάτοικος της πόλης \(Α\) πλήρωσε μεγαλύτερο ποσό στο λογαριασμό του από τον κάτοικο της πόλης \(Β\), να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από \(60\) κυβικά μέτρα νερού.
(Μονάδες 15)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
- Αν κάποιος λείπει από το σπίτι του έχει καταναλώσει \(x=0\) κυβικά μέτρα νερού. Επειδή \(0\in [0,30]\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \(f(x)=12+0,5x\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:
$$f(0)=12+0,5\cdot 0=12\ \text{ευρώ}$$
- Επειδή \(10\in [0,30]\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \(f(x)=12+0,5x\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:
$$f(10)=12+0,5\cdot 10=12+5=17\ \text{ευρώ}$$
- Επειδή \(50\in (30,+\infty)\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \(f(x)=0,7x+6\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:
$$f(50)=0,7\cdot 50+6=35+6=41\ \text{ευρώ}$$
β) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Ο κάτοικος της πόλης \(Α\) κατανάλωσε \(x\) κυβικά μέτρα νερού με \(x\in [0,30]\). Επειδή ο κάτοικος της πόλης \(Α\) πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:
$$f(x)>g(x) $$ $$\Leftrightarrow 12+0,5x>12+0,6x $$ $$\Leftrightarrow 12-12>0,6x-0,5x $$ $$\Leftrightarrow 0>0,1x $$ $$\Leftrightarrow x < 0$$
Άτοπο διότι \(x\in [0,30]\).
Επομένως ο κάτοικος της πόλης \(Α\) δεν μπορεί να κατανάλωσε από \(0\) έως \(30\) κυβικά μέτρα νερού.
Ο κάτοικος της πόλης \(Α\) κατανάλωσε \(x\) κυβικά μέτρα νερού, με \(x\in (30,+\infty)\), Επειδή ο κάτοικος της πόλης \(Α\) πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:
$$f(x)>g(x) $$ $$\Leftrightarrow 0,7x+6>12+0,6x $$ $$\Leftrightarrow 0,7x-0,6x>12-6 $$ $$\Leftrightarrow 0,1x>60 $$ $$\Leftrightarrow x>60$$
Επομένως, τόσο ο κάτοικος της πόλης \(Α\) όσο και αυτός της πόλης \(Β\) κατανάλωσαν περισσότερα από \(60\) κυβικά μέτρα νερού.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).