Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34319	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34319
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε το τριώνυμο $f (x) = 3 x^{2} + κ x - 4$ , με παράμετρο $κ \in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του $κ$ , το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 10)

β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)

γ) Αν $x_{1}$ και $x_{2}$ είναι οι ρίζες του τριωνύμου και $α$ , $β$ είναι δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει:

$α < x_{1} < x_{2} < β$

να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου $α \cdot f (α) \cdot β \cdot f (β)$ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $f (x) = 3 x^{2} + κ x - 4$ έχει διακρίνουσα:
$Δ = κ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = κ^{2} + 48 > 0,$ για κάθε $κ \in R$
Άρα το τριώνυμο έχει για οποιαδήποτε τιμή του $κ$ δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Για το γινόμενο των ριζών έχουμε:

$P = x_{1} x_{2}$ $= \frac{γ}{α}$ $= \frac{- 4}{3} < 0$

Άρα, οι ρίζες είναι ετερόσημες.

γ) Επειδή $x_{1} < x_{2}$ και οι ρίζες είναι ετερόσημες, ισχύει ότι:

$x_{1} < 0 < x_{2}$

Επίσης είναι $α < x_{1}$ και $x_{2} < β$ . Άρα:

$α < 0 και 0 < β (1)$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμου συμπεραίνουμε ότι:

$α < x_{1}$ $\Rightarrow f (α) > 0 και x_{2} < β$ $\Rightarrow f (β) > 0 (2)$

Από τις ανισώσεις $(1)$ και $(2)$ βρίσκουμε ότι:

$α \cdot f (α) \cdot β \cdot f (β) < 0$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).