Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34322	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34322
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Μια υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός $x$ , να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό $λ$ που προκύπτει από τη σχέση:

$λ = (2 x + 5)^{2} - 8 x (1)$

α) Αν ο εισαγόμενος αριθμός $x$ είναι ο $- 5$ , ποιος είναι ο εξαγόμενος αριθμός $λ$ ;
(Μονάδες 4)

β) Αν ο εξαγόμενος αριθμός $λ$ είναι ο $20$ , ποιος είναι ο εισαγόμενος αριθμός $x$ ;
(Μονάδες 6)

γ)

Να δείξετε ότι η σχέση $(1)$ μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή:

$4 x^{2} + 12 x + (25 - λ) = 0$

(Μονάδες 2)
Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός $x$ , ο εξαγόμενος αριθμός $λ$ δεν μπορεί να είναι ίσος με $5$ .
(Μονάδες 6)
Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο εξαγόμενος αριθμός $λ$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα $x = - 5$ και βρίσκουμε:

$λ = (2 \cdot (- 5) + 5)^{2} - 8 \cdot (- 5)$ $= (- 10 + 5)^{2} + 40$ $= (- 5)^{2} + 40$ $= 25 + 40 = 65$

β) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα $λ = 20$ και έχουμε:

$20 = (2 x + 5)^{2} - 8 x$

ή ισοδύναμα:

$20 = 4 x^{2} + 20 x + 25 - 8 x$

και τελικά:

$4 x^{2} + 12 x + 5 = 0$

Το τριώνυμο $4 x^{2} + 12 x + 5$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = 12^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5$ $= 144 - 80 = 64 > 0$

και ρίζες:

$x_{1,2} = \frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4}$ $= \frac{- 12 \pm 8}{8}$ $= {\begin{cases} \frac{- 12 + 8}{8} = - \frac{1}{2} \\ \frac{- 12 - 8}{6} = - \frac{5}{2} \end{cases}$

γ)

Η σχέση $(1)$ ισοδύναμα γράφεται:

$λ = (2 x + 5)^{2} - 8 x$ $\Leftrightarrow λ = 4 x^{2} + 20 x + 25 - 8 x$ $\Leftrightarrow 4 x^{2} + 12 x + (25 - λ) = 0 (2)$
Για να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός $λ$ να είναι $5$ , με βάση τη σχέση $(2)$ θα πρέπει να υπάρχει $x$ τέτοιος ώστε:

$4 x^{2} + 12 x + (25 - 5) = 0$ $\Leftrightarrow 4 x^{2} + 12 x + 20 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} + 3 x + 5 = 0$

Το τριώνυμο $x^{2} + 3 x + 5$ έχει διακρίνουσα $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = - 11 < 0$ . Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του $x$ δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός $λ$ να είναι $5$ .
Οι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός $λ$ , είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση $(2)$ έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν $Δ \geq 0$ όπου $Δ$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4 x^{2} + 12 x + (25 - λ)$ . Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:

$Δ \geq 0$ $\Leftrightarrow 12^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (25 - λ) \geq 0$ $\Leftrightarrow 144 - 400 + 16 λ \geq 0$ $\Leftrightarrow 16 λ \geq 256$ $\Leftrightarrow λ \geq 16$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).