Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34323	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34323
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 23-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο:

$f (x) = x^{2} - x + (λ - λ^{2}), λ \in R$

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα $Δ$ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες για κάθε $λ \in R$ .
(Μονάδες 10)

β) Για ποια τιμή του $λ$ το τριώνυμο έχει δύο ίσες ρίζες;
(Μονάδες 6)

γ) Αν $λ \neq \frac{1}{2}$ και $x_{1}$ , $x_{2}$ οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με $x_{1} < x_{2}$ , τότε:
i. να αποδείξετε ότι $x_{1} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2} < x_{2}$ ,
(Μονάδες 4)

ii. να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου και να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:

$f (x_{2}), f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}), f (x_{2} + 1)$

(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^{2} - x + (λ - λ^{2})$ έχει $α = 1$ , $β = - 1$ , $γ = λ - λ^{2}$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (λ - λ^{2})$ $= 1 - 4 λ + 4 λ^{2}$ $= (1 - 2 λ)^{2} \geq 0$

Επειδή $Δ \geq 0$ , για κάθε $λ \in R$ το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.

β) Το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες ίσες αν και μόνο αν:

$Δ = 0$ $\Leftrightarrow (1 - 2 λ)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow 1 - 2 λ = 0$ $\Leftrightarrow λ = \frac{1}{2}$

γ)
i. Η σχέση $x_{1} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2} < x_{2}$ ισοδύναμα γράφεται:

$(x_{1} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2} και \frac{x_{1} + x_{2}}{2} < x_{2})$ $\Leftrightarrow (2 x_{1} < x_{1} + x_{2} και x_{1} + x_{2} < 2 x_{2})$ $\Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$

που ισχύει από υπόθεση.

iii. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Είναι:

$f (x_{2}) = 0, f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0 και f (x_{2} + 1) > 0$

Άρα:

$f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < f (x_{2}) < f (x_{2} + 1)$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).