Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34323 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34323 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 23-Μαρ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται το τριώνυμο:
$$f(x)=x^{2}-x+(λ-λ^{2})\text{ , } λ\in \mathbb{R}$$
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα \(Δ\) του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 10)
β) Για ποια τιμή του \(λ\) το τριώνυμο έχει δύο ίσες ρίζες;
(Μονάδες 6)
γ) Αν \(λ\ne \dfrac{1}{2}\) και \(x_{1}\), \(x_{2}\) οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με \(x_{1}<x_{2}\), τότε:
i. να αποδείξετε ότι \(x_{1} < \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} < x_{2}\),
(Μονάδες 4)
ii. να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου και να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:
$$f(x_{2}), f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}),f(x_{2}+1)$$
(Μονάδες 5)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=λ-λ^{2}\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-λ^{2})$$ $$=1-4λ+4λ^{2}$$ $$=(1-2λ)^{2}\ge 0$$
Επειδή \(Δ\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.
β) Το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες ίσες αν και μόνο αν:
$$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=\dfrac{1}{2}$$
γ)
i. Η σχέση \(x_{1}<\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}<x_{2}\) ισοδύναμα γράφεται:
$$(x_{1} < \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\ \ \text{και}\ \ \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} < x_{2}) $$ $$\Leftrightarrow (2x_{1} < x_{1}+x_{2}\ \ \text{και}\ \ x_{1}+x_{2} < 2x_{2}) $$ $$\Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$$
που ισχύει από υπόθεση.
iii. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Είναι:
$$f(x_{2})=0, f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})<0\ \ \text{και}\ \ f(x_{2}+1)>0$$
Άρα:
$$f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}) < f(x_{2}) < f(x_{2}+1)$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).